“В школе вы уже усвоили, вероятно, смысл выраже¬ния «число а меньше числа b» или значение слов «мно¬жество А является подмножеством множества В». Об-щим у таких высказываний является то, что они ставят один объект в определенное отношение к другому. Cначала уточним само понятие отношения так, чтобы оно могло стать предметом математического исследо¬вания. Чтобы прийти к этому понятию, мы для большей на¬глядности рассмотрим пример, где участвует конечное число элементов. Вы помните, что о двух числах m, n говорят, что m делит n и пишут m | n, если существует целое число k такое, что km = n*). Найдем все числа а, b из множества N = {0, 1, 2, 3, 4} такие, что а|b. Очевидно, мы получим следующие случаи:

                                                 0| 0;
                                                 1|0, 1|1, 1 |2, 1 |3, 1 |4;
                                                 2|0, 2|2, 2 |4;
                                                       3|0, 3| 3;
                                                       4|0, 4|4.

Будем теперь писать a&b тогда и только тогда, когда a, b ϵ Ni и при этом а делит b. Это еще один пример связи между элементами, которую мы хотим включить в общее понятие отношения. Прежде всего договоримся читать запись a&b словами «а находится в отношении & с b», и тогда естественным образом приходим к тому, чтобы рассматриваемое отношение назвать отноше¬нием &”[4,c.11]. Так что же это такое — отношение &? В соответ¬ствии с таблицей (1) a&b истинно тогда и только тогда, когда (а, b) является одной из упорядоченных пар*) следующего списка:

                                                                                                                                       (0,0);
                             (1, 0),(1, 1), (1,2), (1,3),(1, 4);
                             (2, 0), (2, 2),  (2, 4);  
                             (3, 0),(3,3); 
                             (4,0),(4,4).                                                  

“Это приводит нас к мысли о том, что было бы целе¬сообразно определить отношение & как множество, эле¬ментами которого являются упорядоченные пары из таб¬лицы (2) и только они. При этом условимся рассматри¬вать запись a&b как выражение того факта, что пара (а,b) является элементом множества &, т. е. что (а, b) ϵ &”[4,c.12]. “Теперь перейдем к общему случаю. Пусть А — неко¬торое непустое множество. Декартовым квадратом мно¬жества А назовем множество А2 (обозначаемое также А Х А), элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары (а,b), где а, b пробегают множе¬ство А. Если р — подмножество множества А2, то будем говорить, что р является отношением на множестве А. Выражение (a, b) ϵ p считается эквивалентным записи a p b”[4,c.12].

“Вспомним, что если действи¬тельное число р меньше или равно q, мы пишем р ≤ q, и что для любых действительных чисел р, q, r справед¬ливы следующие утверждения: (i) р ≤ р; (ii) если р≤ q и q≤ р, то р = q; (iii) если р ≤ q и q ≤ r, то р ≤ r. Отношение ≤ на множестве R всех действитель¬ных чисел в соответствии с ранее сказанным мы можем рассматривать как множество, элементами которого яв-ляются упорядоченные пары (р, q) действительных чи¬сел такие, для которых разность q-p неотрицательна”[4,c. 12]. Заметим, что отношение & на множестве N имеет некоторые общие свойства с от¬ношением ≤ на R, именно,

m&m : для любого m ϵ N; если т&п и п&т, то т = n; если т&п и n&k, то m&k. m | m : для любого m ϵ N; если m | n и n | m, то m= n; если m|n и n | k, то m | k.

“Напомним названия основных свойств отношений. Пусть р — отношение на множестве А, т. е. р вкл. в А2. Отношение р называется рефлексивным, если (a,a) ϵ р для любого a ϵ А или а р а для любого а ϵ A. Отношение p по определению антисимметрично тогда и только тогда, когда оно обладает следующим свойством: Если (a,b) ϵ p и (b,a) ϵ p, то a=b или если a p b и bpa, то a=b. Отношение р называется транзитивным тогда и толь¬ко тогда, когда выполняется условие: если (а, b)ϵ ри (b, с) ϵ р, то (a,c)ϵ p или если apb и bрс, то аpс. Наконец, отношение р называется симметричным тогда и только тогда, когда для него выполняется усло¬вие: если (а,b) ϵ р, то (b, а) ϵ р или если apb, то bра”[4,c.12].