Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

textbooks:prepodavatelyu:teoria_reshetok:teorija_mnozhestv

Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой, однако уже в конце XIX — начале XX века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов[⇨], поэтому изначальная форма теории известна как наивная теория множеств[⇨]. В XX веке теория получила существенное методологическое развитие, были созданы несколько вариантов аксиоматической теории множеств[⇨], обеспечивающие универсальный математический инструментарий, в связи с вопросами измеримости множеств тщательно разработана дескриптивная теория множеств[⇨].

Теория множеств стала основой многих разделов математики — общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и оказала существенное влияние на современное понимание предмета математики. В первой половине XX века теоретико-множественный подход был привнесён и во многие традиционные разделы математики, в связи с чем стал широко использоваться в преподавании математики, в том числе в школах. Однако использование теории множеств для логически безупречного построения математических теорий осложняется тем, что она сама нуждается в обосновании своих методов рассуждения. Более того, все логические трудности, связанные с обоснованием математического учения о бесконечности, при переходе на точку зрения общей теории множеств приобретают лишь бо́льшую остроту.

Начиная со второй половины XX века представление о значении теории и её влияние на развитие математики заметно снизились за счёт осознания возможности получения достаточно общих результатов во многих областях математики и без явного использования её аппарата, в частности, с использованием теоретико-категорного инструментария (средствами которого в теории топосов обобщены практически все варианты теории множеств). Тем не менее, нотация теории множеств стала общепринятой во всех разделах математики вне зависимости от использования теоретико-множественного подхода. На идейной основе теории множеств в конце XX века создано несколько обобщений[⇨], в том числе теория нечётких множеств, теория мультимножеств (используемые в основном в приложениях), теория полумножеств[en] (развиваемая в основном чешскими математиками).

Ключевые понятия теории[⇨]: множество (совокупность объектов произвольной природы), отношение принадлежности элементов множествам, подмножество, операции над множествами, отображение множеств, взаимно-однозначное соответствие, мощность (конечная, счётная, несчётная) трансфинитная индукция. C понятием множества учащиеся встречаются на протяжении всего школьного курса математики. Уже в первом классе они знакомятся с множеством натуральных чисел. По мере обучения числовое множество натуральных чисел расширяется до множества действительных чисел. Приведем наиболее важные примеры числовых множеств школьного курса математики:

1)множества натуральных, целых, рациональных, иррациональных и действительных чисел;

2)с каждым уравнением f(x)=0 связаны два множества: множество, на котором выражение f(x) имеет числовое значение; множество чисел, удовлетворяющих этому уравнению;

3)решая неравенства, учащиеся знакомятся с числовыми проме-жутками (отрезок, луч, интервал, полуинтервал), которые являются подмножествами известных учащимся числовых множеств.

4)Системы уравнений (неравенств):

Решить систему уравнений - значит найти множество ее ре-шений. Множество решений системы есть пересечение множеств решений всех ее уравнений. «Множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями уравнения, называется графиком уравнения». Понятия и символы теории множеств широко используются и в курсе геометрии. Так, например, сущность понятий «луч», «ломаная», «полуплоскость» и другие раскрываются через это понятие. В школьном курсе широко используется и понятие «подмножест-во». Например, из множества целых чисел выделяют подмножества натуральных чисел, отрицательных целых чисел, чисел, кратных какому-либо натуральному числу и т.д. Множество решений уравнения f(x)=g(x) является подмножеством множества решений уравнения f (x)=g (x). Операции над множествами применяются при решении систем уравнений (неравенств), так как множество решений системы уравнений (неравенств) есть пересечение множеств решений каждого из уравнений (неравенств). При решении уравнений вида f (x)f (x)f (x)=0 мы встречаемся с операцией объединения множеств. Рассмотренные выше операции над множествами широко приме-няются в курсе геометрии при конструировании геометрических фигур. Отметим, что роль теории множеств в школьной математике больше сводится к использованию языка этой теории.

История Предпосылки Множества, в том числе и бесконечные, в неявной форме фигурировали в математике со времён Древней Греции: например, в том или ином виде рассматривались отношения включения множеств всех рациональных, целых, натуральных, нечётных, простых чисел. Зачатки идеи о равномощности множеств встречаются у Галилея: рассуждая о соответствии между числами и их квадратами, он обращает внимание на неприменимость аксиомы «целое больше части» к бесконечным объектам (парадокс Галилея).

Первое представление об актуально бесконечном множестве относят к работам Гаусса начала 1800-х годов, опубликованным в его «Арифметических исследованиях»[en], в которых вводя сравнения на множестве рациональных чисел он обнаруживает классы эквивалентности (классы вычетов), и разбивает всё множество на эти классы, отмечая их бесконечность и взаимное соответствие, рассматривает бесконечное множество решений ax + b \equiv 0 \pmod n как единую совокупность, классифицирует бинарные квадратичные формы (ax^2 + 2bxy + cy^2) в зависимости от определителя и рассматривает этот бесконечный набор классов как бесконечные совокупности объектов нечисловой природы, предполагает возможность выбирать из классов эквивалентностей по одному объекту-представителю всего класса: использует методы, характерные для теоретико-множественного подхода, не использовавшиеся явно в математике до XIX века. В более поздних работах Гаусс, рассматривая совокупность комплексных чисел с рациональными вещественной и мнимой частью, говорит о вещественных, положительных, отрицательных, чисто мнимых целых числах как её подмножествах. Однако бесконечные множества или классы как самостоятельные объекты исследования Гауссом явно не выделялись, более того, Гауссу принадлежат высказывания против возможности использования актуальной бесконечности в математических доказательствах.

Более отчётливое представление о бесконечных множествах проявляется в работах Дирихле, в курсе лекций 1856—1857 годов, построенном на основе гауссовых «Арифметических исследований». В работах Галуа, Шёмана и Серре по теории функциональных сравнений 1820—1850-х годов также намечаются элементы теоретико-множественного подхода, которые обобщил Дедекинд в 1857 году, явно сформулировавший в качестве одного из выводов необходимость рассмотрения целой системы бесконечно многих сравнимых чисел как единого объекта, общие свойства которого равным образом присущи всем его элементам, а систему бесконечно многих несравнимых классов уподобляет ряду целых чисел. Отдельные понятия теории множеств можно встретить в трудах Штейнера и Штаудта 1830—1860-х годов по проективной геометрии: практически весь предмет в значительной степени зависит от представления о взаимно-однозначном соответствии, ключевом для теории множеств, однако в проективной геометрии на такие соответствия накладывались дополнительные ограничения (сохранение некоторых геометрических соотношений). В частности, Штейнер явно вводит понятие несчётного множества для множества точек на прямой и множества лучей в пучке, и оперирует с их несчётными подмножествами, а в работе 1867 года вводит понятие мощности как характеристики множеств, между которыми возможно установить проективное соответствие (Кантор позднее указывал, что заимствовал само понятие и термин у Штейнера, обобщив проективное соответствие до взаимно-однозначного).

Наиболее близкие к наивной теории множеств Кантора представления содержатся в трудах Больцано, прежде всего, в работе «Парадоксы бесконечного»[en], опубликованной после смерти автора в 1851 году, в которой рассматриваются произвольные числовые множества, и для их сравнения явно определено понятие взаимно-однозначного соответствия, и сам термин «множество» (нем. menge) также впервые систематически использован в этой работе. Однако, работа Больцано носит в большей степени философский характер, нежели математический, в частности, в ней нет чёткого разграничения между мощностью множества и понятием величины или порядка бесконечности, и сколь-нибудь формальной и целостной математической теории в этих представлениях нет. Наконец, теории вещественного числа Вейерштрасса, Дедекинда и Мерэ, созданные в конце 1850-х годов и опубликованные в начале 1860-х во многом перекликаются с идеями наивной теории множеств в том смысле, что рассматривают континуум как множество, образованное из рациональных и иррациональных точек.

Наивная теория множеств

Основным создателем теории множеств в наивном её варианте является немецкий математик Георг Кантор, к созданию абстракции точечного множества подтолкнули работы 1870—1872 годов по развитию теории тригонометрических рядов (продолжавшие труды Римана), в которых вводит понятие предельной точки, близкое к современному и пытается с его помощью классифицировать «исключительные множества» (множества точек расходимости ряда, возможно бесконечные). Заинтересовавшись вопросами равномощности множеств, в 1873 году Кантор обнаруживает счётность множества рациональных чисел и решает отрицательно[en] вопрос о равномощности множеств целых и вещественных чисел (последний результат публикует в 1874 году по настоянию Вейерштрасса. В 1877 году Кантор доказывает взаимно-однозначное соответствие между \mathbb R и \mathbb R^n (для любого n>0). Первыми результатами Кантор делится в переписке с Дедекиндом и Вейерштрассом, которые отвечают благосклонной критикой и замечаниями к доказательствам, и начиная с 1879 года вплоть до 1884 года публикует шесть статей в Mathematische Annalen с результатами исследований бесконечных точечных множеств.

В 1877 году Дедекинд публикует статью «О числе классов идеалов конечного поля», в которой явно в символическом виде оперирует с множествами — полями, модулями, идеалами, кольцами, и использует для них отношение включения (используя знаки «<» и «>»), операции объединения (со знаком «+») и пересечения (с инфиксом «−»), и, кроме того, фактически приходит к алгебре множеств, указывая на двойственность операций объединения и пересечения, в обозначениях Дедекинда:

(A+B)-(A+C) = A + (B - (A+C)), (A-B)+(A-C) = A - (B + (A-C)), в последующих своих работах многократно используя этот результат. В публикации 1878 года о равномощности континуумов разного числа измерений, Кантор использует теоретико-множественные операции, ссылаясь на работу Дедекинда. Кроме того, в этой же работе впервые в явном виде введено понятие мощности множества, доказана счётность всякого бесконечного подмножества счётного множества, а конечные поля алгебраических чисел предложены как примеры счётных множеств. Результат Кантора о равномощности континуумов разного числа измерений привлёк широкое внимание математиков, и уже в том же году последовало несколько работ (Люрот[de], Томе[de], Нетто[de]) с неудачными попытками доказательства невозможности одновременной непрерывности и взаимной однозначности отображения континуумов различных размерностей(точное доказательство этого факта дал Брауэр в 1911 году).

В 1880 году Кантор формулирует две ключевых идеи теории множеств — понятие о пустом множестве и метод трансфинитной индукции. Начиная с 1881 года методами Кантора начинают пользоваться другие математики: Вольтерра, Дюбуа-Реймон, Бендиксон[se], Гарнак[de], в основном в связи с вопросами об интегрируемости функций. В работе 1883 года Кантор даёт исторически первое формальное определение континуума, используя введённые им понятия совершенного множества и плотности множества (отличающиеся от современных, используемых в общей топологии, но принципиально сходных с ними), а также стоит классический пример нигде не плотного совершенного множества (известный как канторово множество), а также в явном виде формулирует континуум-гипотезу (предположение об отсутствии промежуточных мощностей между счётным множеством и континуумом, её недоказуемость в рамках ZFC показана Коэном в 1963 году).

С 1885—1895 годы работы по созданию наивной теории множеств получили развитие прежде всего в трудах Дедекинда (Кантор в течение этих 10 лет публикует лишь одну небольшую работу из-за болезни). Так, в книге «Что такое числа и для чего они служат?» (где также впервые построена аксиоматизация арифметики, известная как арифметика Пеано) систематически изложены полученные к тому времени результаты теории множеств в наибольшей общности — для множеств произвольной природы (не обязательно числовых), бесконечное множество определено как взаимнооднозначное с частью себя, впервые сформулирована теорема Кантора — Бернштейна, изложена алгебра множеств и установлены свойства теоретико-множественных операций. Шрёдер в 1895 году обращает внимание на совпадение алгебры множеств и исчисления высказываний, тем самым устанавливая глубокую связь между математической логикой и теорией множеств.

В 1895—1897 годы Кантор публикует цикл из двух работ, в целом завершающий создание наивной теории множеств.

С начала 1880-х годов, прежде всего, после публикации идей о трансфинитной индукции, теоретико-множественный подход встретил острое неприятие многими крупными математиками того времени, основными оппонентами в то время были Герман Шварц и, в наибольшей степени, Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»). Серьёзная дискуссия развернулась и в среде теологов и философов относительно теории множеств, в основном критически относившихся к идеям об актуальной бесконечности и количественных различиях в этом понятии. Тем не менее, к концу 1890-х годов теория множеств стала общепризнанной, во многом этому способствовали доклады Адамара и Гурвица на Первом международном конгрессе математиков в Цюрихе (1897), в которых были показаны примеры успешного использования теории множеств в анализе, а также широкое применение теоретико-множественного инструментария уже имевшим значительное влияние в математическом сообществе Гильбертом.

Парадоксы

Размытость понятия множества в наивной теории, при которой допускалось построение множеств лишь по признаку сбора всех объектов, обладающих каким-либо свойством, привела к тому, что в период 1895—1925 годов была обнаружена значительная серия противоречий, внесшая серьёзные сомнения в возможность использования теории множеств как фундаментального инструмента, ситуация получила известность как «кризис оснований математики».

Противоречие, к которому приводит рассмотрение множества всех порядковых чисел впервые обнаружено Кантором в 1895 году, переоткрыто и впервые опубликовано Бурали-Форти (итал. Cesare Burali-Forti) в 1897 году, и стало известно как парадокс Бурали-Форти. В 1899 году в письме Дедекинду Кантор впервые говорит о противоречивости универсума как множества всех множеств, так как множество всех его подмножеств должно было бы быть равномощно самому себе, не удовлетворяя принципу \mathfrak m < 2^{\mathfrak m}, впоследствии эта антиномия стала известна как парадокс Кантора. В дальнейшей переписке Кантор предложил рассматривать собственно множества (нем. mengen), которые могут быть мыслимы как единый объект, и «многообразия» (vielheiten) для сложных конструкций, в том или ином виде эта идея нашла отражения в некоторых поздних аксиоматизациях и обобщениях.

Наиболее значительным противоречием, повлиявшим на дальнейшее развитие теории множеств и оснований математики в целом стал парадокс Рассела, обнаруженный около 1901 года Бертраном Расселом и опубликованный в 1903 году в монографии «Основания математики» (англ. The Principles of Mathematics). Суть парадокса в противоречии при рассмотрении вопроса о принадлежности самому себе множества всех множеств, не включающих себя. Кроме того, примерно к тому же времени относится обнаружение таких антиномий как парадокс Ришара, парадокс Берри и парадокс Греллинга — Нельсона, показывающих противоречия при попытках использования самореференции свойств элементов при построении множеств.

В результате осмысления возникших парадоксов в сообществе математиков возникло два направления по разрешению возникших проблем: формализация теории множеств посредством подбора системы аксиом, обеспечивающей непротиворечивость при сохранении инструментальной мощи теории, второе — исключение из рассмотрения всех не поддающихся интуитивному осмыслению конструкций и методов. В рамках первого направления, начатого Цермело, Гильбертом, Бернайсом, Хаусдорфом, было создано несколько вариантов аксиоматической теории множеств[⇨] и за счёт довольно искусственных ограничений преодолены основные противоречия. Второе направление, основным выразителем которого был Брауэр, породило новое направление в математике — интуиционизм, и в той или иной мере оно было поддержано Пуанкаре, Лебегом, Борелем, Вейлем.

Аксиоматическая теория множеств

Первую аксиоматизацию теории множеств в 1908 году опубликовал Цермело, центральную роль в исключении парадоксов в этой системе должна была сыграть «аксиома селекции» (нем. aussonderung), согласно которой от свойства P(x) только тогда можно образовать множество \{ x \mid P(x) \}, если из P(x) следует отношение вида x \in A. В 1922 году благодаря работам Скулема и Френкеля система на базе аксиом Цермело была окончательно сформирована, включив аксиомы объёмности, существования пустого множества, пары, суммы, степени, бесконечности и с вариантами с аксиомой выбора и без неё. Эти аксиоматики получили наибольшее распространение и известны как теория Цермело — Френкеля, система с аксиомой выбора обозначается ZFC, без аксиомы выбора — ZF.

Особая роль аксиомы выбора связана с её интуитивной неочевидностью и заведомым отсутствием эффективного способа определения множества, собранного из элементов семейства. В частности Борель и Лебег считали, что доказательства, полученные с её применением, имеют другую познавательную ценность, нежели доказательства, независимые от неё, тогда как Гильберт и Хаусдорф принимали её безоговорочно, признавая за ней не меньшую степень очевидности, что и за другими аксиомами ZF.

Другой получивший распространение вариант аксиоматизации теории множеств был разработан фон Нейманом в 1925 году, формализован в 1930-е годы Бернайсом, и упрощён Гёделем в 1940 году (в работе по доказательству независимости континуум-гипотезы от аксиомы выбора), окончательный вариант получил известность как система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя и обозначение NGB.

Дескриптивная теория множеств

В начале XX века в работах Лебега, Бэра, Бореля исследованы вопросы измеримости множеств. На основе этих работ в 1910—1930 годы разработана теория дескриптивных множеств, систематически изучающая внутренние свойства множеств, построенных теоретико-множественными операциями из объектов относительно простой природы — открытых и замкнутых множеств евклидова пространства, метрических пространств, метризуемых топологических пространств со счётной базой. Основной вклад в создание теории внесли Лузин, Александров, Суслин, Хаусдорф. С 1970-х годов разрабатываются обобщения дескриптивной теории множеств на случай более общих топологических пространств.

Объединение и пересечение коммутативны, ассоциативны и идемпотентны. В зависимости от выбора системы аксиом и наличия дополнения алгебра множеств (относительно объединения и пересечения) может образовывать дистрибутивную решётку, полную дистрибутивную решётку, булеву алгебру. Для визуализации операций над множествами используются диаграммы Венна.

Декартово произведение множеств A и B — множество всех упорядоченных пар элементов из A и B: A \times B = \{(x, y) \mid x \in A \and y \in B \}. Отображение f множества A в множество B теории множеств рассматривается как бинарное отношение — подмножество A \times B — с условием единственности соответствия первого элемента второму: (x, y) \in f \Rightarrow \forall z \neq y ((x,z) \notin f).

Булеан — множество всех подмножеств данного множества, обозначается \mathcal P (A) или 2^A (так как соответствует множеству отображений из A в \mathbf{2} = \{ 0,1\}).

Мощность множества (кардинальное число) — характеристика количества элементов множества, формально определяется как класс эквивалентности над множествами, между которыми можно установить взаимно-однозначное соответствие, обозначается |A| или \sharp A. Мощность пустого множества равна нулю, для конечных множеств — целое число, равное количеству элементов. Над кардинальными числами, в том числе характеризующими бесконечные множества, можно установить отношение порядка, мощность счётного множества обозначается \aleph_0 (алеф — первая буква еврейского алфавита), является наименьшей из мощностей бесконечных множеств, мощность континуума обозначается \mathfrak c или 2^{\aleph_0}, континуум-гипотеза — предположение о том, что между счётной мощностью и мощностью континуума нет промежуточных мощностей.

Обобщения

Средствами теории категорий, зачастую противопоставляемой теории множеств и с инструментальной, и с дидактической точек зрения, Ловер и Тирни (англ. Miles Tierney) в 1970 году создали теорию топосов, изучаемый ею объект — элементарный топос — построен по принципу схожести с поведением множеств в теоретико-множественном понимании, элементарными топосами удалось представить практически все варианты теории множеств.

Теория нечётких множеств — расширение теории множеств, предложенное в 1960-х годах Лотфи Заде в рамках концепции нечёткой логики, в нечёткой теории вместо отношения принадлежности элементов к множеству рассматривается функция принадлежности со значениями в интервале [0, 1]: элемент чётко не принадлежит множеству если функция его принадлежности равна нулю, чётко принадлежит — если единице, в остальных случаях отношение принадлежности считается нечётким. Применяется в теории информации, кибернетике, информатике.

Альтернативная теория множеств[en] — теория, развиваемая чехословацкими математиками с 1970-х годов, в основном в работах Петра Вопенки (чеш. Petr Vopěnka), основывающаяся на чёткой формализации множества как объекта, индуктивно построимого из пустого множества и заведомо существующих элементов, для свойств объектов, допускающих рассмотрения их в целой совокупности, вводится понятие классов, а для изучения подклассов множеств используется концепция полумножеств[en]. Одним из основных понятий теории множеств является понятие отношения, которое играет большую роль в формировании математических знаний учащихся. Школьные курсы алгебры и геометрии содержат большое число различных примеров отношений. Перечислим наиболее важные из них. В курсе арифметики, с самого начала обучения, учащимся приходится сравнивать числа и величины, а всякий результат сравнения представляет собой некоторое отношение. Среди отношений на множестве натуральных чисел встречаются отношения: «больше», «меньше», «больше (меньше) на a», «равенства», «делимости». При изучении курса алгебры учащимся также приходится рассматривать отношения, хотя и в неявном виде. Например, существуют числа, дающие один и тот же остаток при делении на некоторое число m. Это есть отношение сравнения по модулю m на множестве натуральных чисел. Числовые функции числового аргумента, изучаемые в курсе математики средней школы, являются отношениями во множестве чисел. Поэтому изучение отношений, их графиков и свойств непосредственно связано с материалом, изучаемым в основном курсе. Изучение курса геометрии также во многом сводится к изучению отношений. Первые же аксиомы геометрии опираются на отношения принадлежности (точка принадлежит прямой, прямая принадлежит плоскости и т.д.). Учащиеся встречаются с отношениями «больше», «меньше» на множестве длин отрезков, площадей прямоугольников и с другими отношениями порядка.

Одно из наиболее важных видов отношений - отношение эквивалентности. В школьном курсе математики можно встретить много при-меров отношений эквивалентности. По существу многие понятия, изу-чаемые в основном курсе, являются специальными названиями отноше-ния эквивалентности, заданного на различных множествах, для некото-рых из них доказываются свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности. Рассмотрим некоторые примеры.

1.Отношение равенства на множестве дробей вида m/n, где m - целое число, n - натуральное число, является отношением эквивалентности.

2.На множестве уравнений или неравенств с одной переменной задано отношение равносильности, которое является отношением эквивалентности.

3.На множестве всех прямых плоскости задано отношение парал-лельности, являющееся отношением эквивалентности, так как оно реф-лексивно, симметрично и транзитивно.На множестве всех фигур плоскости рассмотрим отношение по-добия фигур, являющееся отношением эквивалентности. На этом далеко не полном перечне примеров можно убедиться, что изучение школьной математики во многом есть изучение отноше-ний. Однако, несмотря на известную подготовленность учащихся к обобщению этого понятия, общее понятие отношения в школе не выявляется, учащиеся не привлекаются к анализу сходства свойств различных отношений и выделению на этой основе важных типов отношений.

textbooks/prepodavatelyu/teoria_reshetok/teorija_mnozhestv.txt · Последние изменения: 2016/01/18 13:06 — nadjasinizkaja