Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

textbooks:prepodavatelyu:teoria_reshetok:distributivnye_struktury

Теорема 4. “Следующие свойства структуры L эквивалентны: (1) L дистрибутивна; (2) аb + с = (a + с) (b + с) для любых а, b, с ϵ L; (3) аb + bс + са = (а + b) (b + с) (с + а) для любых a, b, с ϵ L; (4) если для некоторого C ϵ L справедливо а + с = b + с и ас = bс, то а = b. Доказательство. (1) ⇒ (2). Имеем (a + с) (b + с) == (a+c)b+c=ab+bc+c=ab+c. (2) ⇒ (3). Действительно, ab+bс + са = (а + bс + са) (b + bс+ са) = = (а +bс) (Ь + са) = (b + а) (с + а) (b + с) (b + а) = = (а+ b) (Ь+ с) (с+ а). (3) ⇒(1). Если а ≤ с, то ас + bс=аb + bс+ ca= (а + b) (b + с) (с + a)= = с (а+b) (b +с) = с (а+b). Далее, положим u= аb +bс+ ас и v = (а + b) (b + с) X X(а+с). По условию, u = v и, следовательно, сu = сu. Но, учитывая доказанное выше, получаем ' сu = с (аb +bс + ас) = с (bc+ ас) + аbс = ас+ bс и cv = с (a + b) (b + с) (а + с) = с (a + b), что и требовалось. (1) ⇒(4). Если a + с = b +с и ac = bс, то, применяя (1), получим а = а (а + с) = a (b + с) = аb + ас = ab + bс = = (а +с)b = (b+с)b = b (4) ⇒ (3). Положим u = ab+ bс+ ас, v = (а+ b) Х (b+ с) (а + с), р = ас + b (а + с), q = bc + а (b + с) и г = ab +с(а + b). Согласно из одной из теорем вытекает справедливость модулярного закона. Поэтому р + r = [ac +b (а +с)]+ [ab +с (a +b)] = = b (a + с) + с (a +b) = (a + b)[b (а + с) + с] = = (а + b) (a + с) (b+ с) = v, q +r= [bс + а (b+ с)] + [ab+ с (а +b)] = = а (b +c) +c (а +b) = (а+ b) [a (b +c) +с] = = (а +b) (b+ с) (а + с) = v, рг = [ас+ b (а + с)] [ab + с (а + b)] = = ab + [ас +b (а + с)] с (а + b) = = аb + [ас +b (a+ с) с] (а +b) = u и qr = [bс + а (b+ c)] [аb + с (а + b)] = = аb + [bс + а (b+ с)] с (а +b) = = аb+ [bс +а (b+ с) с] (а + b) = u. В силу (4) имеем р = q. Но тогда p = p + q = [ас + b (а + с)] + [bс + a (b + с)] = = b (а + с) + а (b+ с) = (а + с) [b+a (b+c)] = v и p = pq= [ac+b (а + с)] [bc + а (b + с)] = = bc + [ас + b (а + с)] a(b + c) = = bс + [ас + b (а + с)а] (b + с) = u. Таким образом, имеем u = р = v, что и требовалось доказать”[11,c.12]. “Структура L называется дистрибутивной, если для любых а, b, с ϵ L имеет место (а + b)с = ас + bс. Важнейшим примером дистрибутивной структуры явля¬ется структура всех подмножеств произвольного множества”[10,c. 23].

textbooks/prepodavatelyu/teoria_reshetok/distributivnye_struktury.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:04 (внешнее изменение)