Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

textbooks:prepodavatelyu:teoria_reshetok:algebraicheskie_struktury

Алгебраическая структура

В математике, и более определенно в абстрактной алгебре, терминал алгебраическая структура обычно относится к набору (названный набором перевозчика или основным набором) с одной или более finitary операциями, определенными на нем. Примеры алгебраических структур включают группы, кольца, области и решетки. Более сложные структуры могут быть определены, введя многократные операции, различные основные наборы, или изменив аксиомы определения. Примеры более сложных алгебраических структур включают векторные пространства, модули и алгебру. Свойства определенных алгебраических структур изучены в абстрактной алгебре. Общая теория алгебраических структур была формализована в универсальной алгебре. Теория категории используется, чтобы изучить отношения между двумя или больше классами алгебраических структур, часто различных видов. Например, теория Галуа изучает связь между определенными областями и группами, алгебраическими структурами двух различных видов. В небольшом злоупотреблении примечанием слово «структура» может также относиться только к операциям на структуре, а не самому основному набору. Например, фраза «мы определили кольцевую структуру(структура кольца) на наборе» означает, что мы определили кольцевые операции на наборе. Для другого примера группа может быть замечена как набор, который оборудован алгебраической структурой, а именно, операция. Введение Дополнение и умножение на числах - формирующий прототип пример операции, которая объединяет два элемента набора, чтобы произвести одну треть. Эти операции подчиняются нескольким алгебраическим законам. Например, + (b + c) = (+ b) + c и (до н.э) = (ab) c, оба примера ассоциативного закона. Также + b = b + a, и ab = ba, коммутативный закон. Много систем, изученных математиками, начинают операции, которые повинуются некоторым, но не обязательно всем, законов обычной арифметики. Например, вращения объектов в трехмерном пространстве могут быть объединены, выполнив первое вращение и затем применив второе вращение к объекту в его новой ориентации. Эта операция на вращениях подчиняется ассоциативному закону, но может подвести коммутативный закон. Математики дают имена к наборам с одной или более операциями, которые повинуются особой коллекции законов и изучают их в резюме как алгебраические структуры. Когда новая проблема, как могут показывать, следует законам одной из этих алгебраических структур, вся работа, которая была сделана на той категории в прошлом, может быть применена к новой проблеме. В полной общности алгебраические структуры могут включить произвольное число наборов и операций, которые могут объединить больше чем два элемента (более высокая арность), но эта статья внимание на операции над двоичными числами на одном или двух наборах. Примеры здесь ни в коем случае не полный список, но они предназначаются, чтобы быть представительным списком и включать наиболее распространенные структуры. Более длинные списки алгебраических структур могут быть найдены во внешних ссылках и в пределах. Структуры перечислены в приблизительном заказе увеличивающейся сложности. Примеры Один набор с операциями Простые структуры: Никакая операция над двоичными числами: • Набор: выродившаяся алгебраическая структура, начинающая операции. • Указанный набор: S имеет один или несколько выдающиеся элементы, часто 0, 1, или оба. • Одноместная система: S и единственная одноместная операция по S. • Резкая одноместная система: одноместная система с S резкий набор. Подобные группе структуры: Одна операция над двоичными числами. Операция над двоичными числами может быть обозначена любым символом, или без символа (сопоставление), как сделан для обычного умножения действительных чисел. • Магма или groupoid: S и единственная операция над двоичными числами по S. • Полугруппа: ассоциативная магма. • Monoid: полугруппа с идентичностью. • Группа: monoid с одноместной операцией (инверсия), давая начало обратным элементам. • Группа Abelian: группа, операция над двоичными числами которой коммутативная. • Полурешетка: полугруппа, операция которой - идемпотент и коммутативный. Операцию над двоичными числами можно назвать или встретиться или присоединиться. • Квазигруппа: магма, повинуясь латинской квадратной собственности. Квазигруппа может также быть представлена, используя три операции над двоичными числами. Подобные кольцу структуры или Ringoids: Две операции над двоичными числами, часто называемые дополнением и умножением, с распределением умножения по дополнению. • Полукольцо: ringoid, таким образом, что S - monoid при каждой операции. Дополнение, как как правило, предполагается, коммутативное и ассоциативное, и monoid продукт, как предполагается, распределяет по дополнению с обеих сторон. • Почти кольцо: полукольцо, добавка которого monoid (не обязательно Abelian) группа. • Кольцо: полукольцо, добавка которого monoid является группой Abelian. • Лгите кольцо: ringoid, добавка которого monoid является abelian группой, но чья мультипликативная операция удовлетворяет личность Джакоби, а не ассоциативность. • Булево кольцо: коммутативное кольцо с идемпотентной операцией по умножению. • Область: коммутативное кольцо, которое содержит мультипликативную инверсию для каждого элемента отличного от нуля • Алгебра Клини: полукольцо с идемпотентным дополнением и одноместной операцией, звездой Клини, удовлетворяя дополнительные свойства. • *-algebra: кольцо с дополнительной одноместной операцией (*) удовлетворение дополнительных свойств. Структуры решетки: Две или больше операции над двоичными числами, включая названные операции встречаются и присоединяются, связанный поглотительным законом. • Полная решетка: существует решетка, в которой произвольный встречаются и соединения. • Ограниченная решетка: решетка с самым большим элементом и наименьшим количеством элемента. • Дополненная решетка: ограниченная решетка с одноместной операцией, образованием дополнения, обозначенным постфиксацией. Соединение элемента с его дополнением - самый большой элемент, и встречание этих двух элементов - наименьшее количество элемента. • Модульная решетка: решетка, элементы которой удовлетворяют дополнительную модульную идентичность. • Дистрибутивная решетка: решетка, в которой каждый из встречаются и соединение, распределяет по другому. Дистрибутивные решетки модульные, но обратное не держится. • Булева алгебра: дополненная дистрибутивная решетка. Или встречаются или соединение, может быть определен с точки зрения другого и образования дополнения. Это, как могут показывать, эквивалентно с подобной кольцу структурой того же самого, ранее назвали. • Алгебра Гейтинга: ограниченная дистрибутивная решетка с добавленной операцией над двоичными числами, относительным псевдо дополнением. Арифметика: Две операции над двоичными числами, дополнение и умножение. S - бесконечный набор. Арифметика указана одноместные системы, одноместная операция которых - injective преемник, и с выдающимся элементом 0. • Арифметика Робинсона. Дополнение и умножение рекурсивно определены посредством преемника. 0 элемент идентичности для дополнения и уничтожает умножение. Арифметика Робинсона перечислена здесь даже при том, что это - разнообразие из-за его близости с арифметикой Пеано. • Арифметика Пеано. Арифметика Робинсона со схемой аксиомы индукции. Большая часть кольца и полевых аксиом, опирающихся на свойства дополнения и умножения, являются теоремами арифметики Пеано или надлежащих расширений этого. Два набора с операциями Подобные модулю структуры: сложные системы, включающие два набора и использующие по крайней мере две операции над двоичными числами. • Группа с операторами: группа G с набором Ω и операция над двоичными числами • Модуль: группа M Abelian и кольцо R действующий как операторы на M. Членов R иногда называют скалярами, и операция над двоичными числами скалярного умножения , который удовлетворяет несколько аксиом. Считая кольцевые операции эти системы начинают по крайней мере три операции. • Векторное пространство: модуль, где кольцо R является кольцом подразделения или областью. • Классифицированное векторное пространство: векторное пространство с прямым разложением суммы, ломающим пространство в «сорта». • Квадратное пространство: векторное пространство V по области Ф с функцией от V в F удовлетворение определенных свойств. Каждое квадратное пространство - также внутреннее место продукта (см. ниже). Подобные алгебре структуры: сложная система определила более чем два набора, кольцо R и модуль R M оборудованный операцией, названной умножением. Это может быть рассмотрено как система с пятью операциями над двоичными числами: две операции на R, два на M и одном вовлечении иR и M. • Алгебра по кольцу (также R-алгебра): модуль по коммутативному кольцуR, который также несет операцию по умножению, которая совместима со структурой модуля. Это включает distributivity по дополнению и линейности относительно умножения элементами R. Теория алгебры по области особенно хорошо развита. • Ассоциативная алгебра: алгебра по кольцу, таким образом, что умножение ассоциативно. • Неассоциативная алгебра: модуль по коммутативному кольцу, оборудованному кольцевой операцией по умножению, которая не обязательно ассоциативна. Часто ассоциативность заменена различной идентичностью, такой как чередование, личность Джакоби или Иорданская идентичность. • Coalgebra: векторное пространство с «comultiplication», определенным двойственно к той из ассоциативной алгебры. • Алгебра Ли: специальный тип неассоциативной алгебры, продукт которой удовлетворяет личность Джакоби. • Лгите coalgebra: векторное пространство с «comultiplication», определенным двойственно к той из алгебр Ли. • Классифицированная алгебра: классифицированное векторное пространство со структурой алгебры, совместимой с аттестацией. Идея состоит в том что, если сорта двух элементов a и b известны, то сорт abизвестен, и таким образом, местоположение продукта ab определен в разложении. • Внутреннее место продукта: векторное пространство F V с бинарной операцией над двоичными числами. Четыре или больше операции над двоичными числами. • Алгебра Клиффорда: классифицированная ассоциативная алгебра оборудовала внешним продуктом, из которого может быть получен несколько возможных внутренних продуктов. Внешняя алгебра и геометрическая алгебра - особые случаи этого строительства. Гибридные структуры Алгебраические структуры могут также сосуществовать с добавленной структурой неалгебраической природы, такой как частичный порядок или топология. Добавленная структура должна быть совместимой, в некотором смысле, с алгебраической структурой. • Топологическая группа: группа с топологией, совместимой с операцией группы. • Группа Ли: топологическая группа с совместимой гладкой разнообразной структурой. • Приказанные группы, приказанные кольца и заказанные области: каждый тип структуры с совместимым частичным порядком. • Архимедова группа: линейно приказанная группа, для которой держится Архимедова собственность. • Топологическое векторное пространство: векторное пространство, у Mкоторого есть совместимая топология. • Векторное пространство Normed: векторное пространство с совместимой нормой. Если такое пространство полно (как метрическое пространство) тогда, это называют Банаховым пространством. • Гильбертово пространство: внутренний продукт делает интервалы по действительным числам или комплексным числам, внутренний продукт которых дает начало структуре Банахова пространства. • Алгебра оператора вершины Универсальная алгебра Алгебраические структуры определены через различные конфигурации аксиом. Универсальная алгебра абстрактно изучает такие объекты. Одна главная дихотомия между структурами, которые являются axiomatized полностью тождествами и структурами, которые не являются. Если все аксиомы, определяющие класс алгебры, являются тождествами, то класс объектов - разнообразие (чтобы не быть перепутанным с алгебраическим разнообразием в смысле алгебраической геометрии). Тождества - сформулированное использование уравнений только операции, которые структура позволяет, и переменные, которые молчаливо универсально определены количественно по соответствующей вселенной. Тождества не содержат соединительных слов, экзистенциально определенных количественно переменных или отношений никакого вида кроме позволенных операций. Исследование вариантов - важная часть универсальной алгебры. Алгебраическая структура в разнообразии может быть понята как алгебра фактора алгебры термина (также названный «абсолютно свободная алгебра») разделенный на отношения эквивалентности, произведенные рядом тождеств. Так, коллекция функций с данными подписями производят свободную алгебру, термин алгебра T. Данный ряд эквациональных тождеств (аксиомы), можно рассмотреть их симметричное, переходное закрытие E. Алгебра фактора T/E является тогда алгебраической структурой или разнообразием. Таким образом, например, у групп есть подпись, содержащая двух операторов: оператор умножения m, беря два аргумента и обратного оператора i, беря один аргумент, и элемент идентичности e, константу, которую можно считать оператором, который берет нулевые аргументы. Учитывая (исчисляемый) набор переменных x, y,z, и т.д. термин алгебра является коллекцией всех возможных условий, включающих m, меня, e и переменных; так, например, m (я (x), m (x, m (y, e)))был бы элемент термина алгебра. Одна из аксиом, определяющих группу, является идентичностью m (x, я (x)) = e; другой - m (x, e) = x. Аксиомы могут быть представлены как деревья. Эти уравнения вызывают классы эквивалентности на свободной алгебре; у алгебры фактора тогда есть алгебраическая структура группы. Несколько структур не разнообразия не варианты, потому что также: 1. Необходимо, что 0 ≠ 1, 0 являющийся совокупным элементом идентичности и 1 являющийся мультипликативным элементом идентичности, но это - неидентичность; У 1. структур, таких как области есть некоторые аксиомы, которые держатся только для членов отличных от нуля S. Для алгебраической структуры, чтобы быть разнообразием, его действия должны быть определены для всех членов S; не может быть никаких частичных операций. Структуры, аксиомы которых неизбежно включают не тождества, среди самых важных в математике, например, области и следовательно также векторные пространства и алгебра. Хотя структуры с не тождествами сохраняют бесспорный алгебраический аромат, они страдают от вариантов дефектов, не имеют. Например, продукт двух областей не область. Теория категории Теория категории - другой инструмент для изучения алгебраических структур (см., например, Мак-Лейн 1998). Категория - коллекция объектов со связанными морфизмами. У каждой алгебраической структуры есть свое собственное понятие гомоморфизма, а именно, любая функция, совместимая с операцией (ями), определяющей структуру. Таким образом каждая алгебраическая структура дает начало категории. Например, у категории групп есть все группы как объекты и все гомоморфизмы группы как морфизмы. Эта конкретная категория может быть замечена как категория наборов с добавленной теоретической категорией структурой. Аналогично, категория топологических групп (чьи морфизмы - непрерывные гомоморфизмы группы) является категорией топологических мест с дополнительной структурой. Забывчивый функтор между категориями алгебраических структур «забывает» часть структуры.

Идеей группы пронизан весь школьный курс математики. Знакомство учащихся с понятием группы начинается по сути дела уже в 1-5 классах. Учащиеся встречаются с понятием целого числа, сложением целых чисел, выделяют нуль, находят для каждого целого числа ему противоположное, изучают законы действий. В ходе обучения в последующих классах школы учащиеся сталкиваются с вопросами, которые способствуют расширению их знаний такого характера.
В программе школьного курса математики (в неявном виде) содержатся следующие примеры групп, колец и полей:

               6 класс

1. аддитивная группа целых чисел;
2. аддитивная группа рациональных чисел;
3. мультипликативная группа рациональных чисел без нуля;
4. кольцо целых чисел;
5 поле рациональных чисел.

              7 класс

- кольцо многочленов от одной переменной.

              8 класс

1. мультипликативная группа целых степеней рационального числа, отличного от нуля;
2. аддитивная группа действительных чисел;
3. мультипликативная группа действительных чисел без нуля;
4. поле действительных чисел;
5. группа поворотов плоскости;
6. группа параллельных переносов плоскости.

             9 класс

1. мультипликативная группа степеней числа, отличного от нуля, с рациональными показателями;
2. группа гомотетий.

Приведенные выше примеры показывают, что учащиеся на уроках значительную часть времени работают со структурами. Рассматривая только учение о числе, мы на уровне школьного обучения можем ознакомить учащихся со многими конкретными примерами математических структур. Кроме того, пропедевтика понятия алгебраической операции и ее свойств готовит учащихся к восприятию аксиом группы, кольца и поля.
В процессе повторения темы «Рациональные числа» в классах с математической специализацией можно познакомить учащихся с числовыми примерами групп, колец и полей.

textbooks/prepodavatelyu/teoria_reshetok/algebraicheskie_struktury.txt · Последние изменения: 2016/01/18 13:16 — nadjasinizkaja