Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

textbooks:prepodavatelyu:teoria_reshetok:algebraicheskie_operacii

Определение.

Пусть дано множество Mобъектов произвольной природы.Алгебраической операцией, определенной вМбудем называть функциюf, которая каждой упорядоченной паре элементовa,bMставим в соответствие некоторый определенный элементc М.

В определении алгебраической операции имеется требование, чтобы результат операции, выполненный на всякой паре элементов множества М, тоже принадлежал множеству М,это так называемый постулат замкнутости множества относительно алгебраической операции (или замкнутости операции).

С этой точки зрения нельзя, например, вычитание натуральных чисел или деление действительных чисел считать алгебраической операцией. Для обозначения алгебраической операции употребляется обычно вместо записи f(a,b) более удобная a f b, или, заменяя знак функции f каким-либо другим, например,и тому подобное.

Рассмотрим примеры алгебраических операций.

1). Алгебраическими операциями являются: обычное сложение в N,Z,Q,R,C, а так же обычное умножение в каждом из этих множеств. Обычное вычитание так же является алгебраической операцией вZ,Q,R,C, но не вN. Обычное деление чисел не является алгебраической операцией ни в каком из этих множеств, но если рассматривать множестваQ,R,Cкаждое без нуля, то в этих множествах деление уже будет алгебраической операцией.

2). Рассматриваем множество Vвсех векторов трехмерного, евклидова пространства. Сложение векторов будет алгебраической операцией вV, вычитание тоже. Алгебраической операцией будет так же векторное умножение векторов. Скалярное произведение не будет алгебраической операцией так как в этом случае результатом действия является не вектор, а действительное число.

Определение 1.

Алгебраическая операция, определенная на множестве М, называется коммутативной, если для любых a,bM, a b = b a.

Определение 2.

Алгебраическая операция, определенная на множестве М, называется ассоциативной, если для любых

(ab)с =a(bс).

a,bM.Можно поэтому писать в данном случае просто аbс.

Пример № 1.

Определим в Rалгебраические операции следующим образом:

аb=a+b+ 1,

a b = a + b + ab,

где «+» и «» в правых частях этих равенств являются обычным сложением и умножением чисел.

Докажем, например, что в этом примере является ассоциативной.

Доказательство.

Мы должны доказать, что

(a b)с = a (bc).

Имеем

(a b)c = (a + b + ab)c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab)с = a + b + c + ab + ac + bc + abc = a + (b + c) + a( b + c + bc ) + bc = a + ( b + c + bc ) + a( b + c + bc ) = a (b + c + bc) = a ( b c ).

Можно так же показать, что операция является ассоциативной.

Если в множестве М, в котором определена алгебраическая операция, имеется элементе, такой, что для всякого

аМ еа = ае = а,

то говорим, что элемент является единичным элементом операции.

Если рассматривать какое – либо из множеств N,Z,Q,R,Cсо сложением, то единичным элементом будет число 0. В тех же множествах, рассматриваемых с умножением в качестве алгебраической операции, единичным элементом является 1.

Во множестве всех четных чисел с умножением в качестве алгебраической операции нет единичного элемента. В данном множестве Мс данной алгебраической операцией. Не может быть больше чем один единичный элемент. В самом деле, если были бы единичными элементами операции, то было бы

е е' = е' и ее' = е,

откуда е = е'.

Группоиды и полугруппы

1) В зависимости от числа операций, определенного в данном множестве, в зависимости от свойств этих операций, общая алгебра подразделяется на отдельные части. Самым простым алгебраическим образованием является множество с одной алгебраической операцией, на которую не налагается никаких условий. Называется оно группоидом. Если на алгебраическую операцию наложить некоторые условия, например, предположить, что операция коммутативна, то такие группоиды называются коммутативными или абелевыми ( в честь великого норвежского математика 19 века Н.Г. Абеля).

Определение.

Группоиды с ассоциативной операцией называются полугруппами.

Теория полугрупп является одной из наиболее содержательных областей общей алгебры. Если полугруппа содержит единичный элемент , то она называется полугруппой с единицей, ее единичный элемент называется единицей полугруппы. Примером полугруппы является множество,N0по отношению к сложению, а так же по отношению к умножению.(N0 =N0).

Группы

Определение 1.

Полугруппа Gс единицей называется группой, если для каждого ее элемента существует такой элемента'G, что

аа' = а'а = е. ( 1)

Будем с этого момента алгебраическую операцию в группе называть умножением и обозначать символом обычного умножения, ее результат будем называть произведением. Элемент а' из (1) назовем обратным и обозначим символом-1. Таким образом (1) запишется так:

аа-1 = а-1а = е.(1')

Определение 2.

Группа – это множество замкнутое относительно одной ассоциативной алгебраической операции, содержащее единичный элемент и такой, что для каждого ее элемента а существует обратный элемент, который удовлетворяет равенству (1').

Отметим некоторые простейшие свойства групп.

1. Всякий элемент группы имеет только один обратный.

2. (а-1)-1 = а.

3. (ab)-1 =b-1a-1.

4. ( а1а2 … аn)-1 = аn-1аn-1-1… а2-1а1-1.

Докажем, например, свойство 3.

Пользуясь, ассоциативностью умножения в группе, получаем

(ab)(b-1a-1) = a(bb-1)a-1 =aea-1 = aa-1=e.

Это означает, что обратным к элементу аbявляетсяb-1 а-1.

В группе однозначно, разрешимы уравнения

ах = b, уа = b. (2)

Это означает, что для каждой пары а и bсуществует одна и только одна пара элементов х и у,удовлетворяющих равенствам (2). Заметим, что если в полугруппеGдля каждой пары элементовa,bGразрешимы уравнения (2), тоGявляется группой, то есть вGсуществует единица и каждый элемент имеет обратный. Итак, группу можно определить как группоид с ассоциативным умножением, в котором для каждой пары элементов а иbразрешимы уравнения (2).

Определение.

Группа называется абелевой, если умножение в ней коммутативно.

Для обозначения алгебраической операции в абелевых группах принято употреблять символ +, операцию эту называют сложением, единичный элемент обозначают символом 0 и называют нулем, элемент обратный к а обозначается через–а. В связи с этим говорится о двух терминологиях в теории групп: мультипликативной, связанной с термином умножение для обозначения групповой операции и употребляемой в неабелевых группах и в общей теории групп и о терминологии аддитивной, связанной с термином сложения для обозначения групповой операции и употребляемой обычно в абелевых группах. Аддитивная (сложение) используется для обозначения групповой операции, употребляемых обычно в абелевых группах.

В группе справедлив закон сокращения: из ab = ac b = cи из

ba = ca b = c. Так же широко, как и примеры отношений, в школьном курсе математики представлены примеры алгебраических операций, и тоже без явного определения этого понятия.

Уже в первом классе изучается операция сложения чисел от 1 до 100, которая ведет в дальнейшем к изучению этой операции на всем множестве натуральных чисел. Расширение понятия операции в школьном курсе математики происходит параллельно с расширением понятия числа (операции над натуральными числами в 5 классе, операции над целыми и рациональными числами в 6 классе, операции над действительными числами в 8 классе). При изложении темы «Вычитание целых чисел» подчеркнуто следующее отличие множества целых чисел от множества натуральных чисел: «В множестве натуральных чисел операция вычитания выполнима не всегда. В множестве целых чисел операция выполнима всегда - именно благодаря введению отрицательных чисел». Далее указывается, что дробные числа «богаче» натуральных чисел: одно дробное число всегда можно разделить на другое (не равное 0), а в множестве натуральных чисел, например, 5 не делится на 2 - до тех пор, пока мы не начинаем рассматривать дроби.

Приведенные примеры показывают, что в данных учебниках проводится подготовка к пониманию в дальнейшем общего понятия алгебраической операции и ее свойств. В 7 классе появляются первые примеры алгебраических операций на множествах «нечисловой» природы - сложение и умножение многочленов. В средней школе уделяется большое внимание изучению свойств арифметических действий, которые нашли себе место на страницах многих учебников алгебры. Операция возведения в степень является одним из первых примеров некоммутативной и неассоциативной операции. Основной алгебраической операцией, изучаемой в школьном курсе геометрии, является композиция геометрических преобразований. Многие совокупности геометрических преобразований (движения, параллельные переносы, повороты вокруг фиксированной точки и т.д.) замкнуты относительно этих операций.

Проведенный выше анализ показывает, что поскольку школьный курс математики знакомит учащихся с некоторыми конкретными примерами и контр примерами алгебраических операций, с основными свойствами алгебраических операций, то можно сказать, что он в определенной мере (в неявном виде) осуществляет пропедевтику понятия алгебраической операции и ее свойств. Так как понятие алгебраической операции является одним из важных понятий современной математики и легко может быть усвоено учащимися, то оно должно стать одним из важных понятий школьной математики, для которого необходима явная пропедевтика на протяжении всего школьного курса.

textbooks/prepodavatelyu/teoria_reshetok/algebraicheskie_operacii.txt · Последние изменения: 2016/01/18 13:12 — nadjasinizkaja