Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

start:zadanija_dlja_individualnoj_raboty

Задание 1.

  1. Докажите, что относительно бинарной операции множество R не содержит нейтрального элемента. Является ли данная операция обратимой на множестве R.
  2. Обладает ли множество N правым нейтральным элементом; левым нейтральным элементом; нейтральным элементом относительно бинарной операции, выполняемой по правилу а ◦ b = аb ? Обратима ли данная операция на множестве N ?
  3. Докажите, что относительно бинарной операции, выполняемой по правилу , множество R+ не обладает нейтральным элементом. Обратима ли эта операция на множестве R+?
  4. Покажите, что действие, выполняемое по правилу а◦b = а2 + b2, является коммутативной, но не ассоциативной бинарной операцией на множестве R.
  5. Почему множество R не является полугруппой относительно действия, выполняемого по правилу а◦b = а2 + b2 для любых а, b  R ?
  6. Докажите, что на множестве Q действие, выполняемое по правилу , является бинарной операцией, которая коммутативна, ассоциативна, но не обратима. Каким нейтральным элементом обладает алгебраическая система (Q, ◦) ?
  7. Докажите, что на множестве Z действие, выполняемое по правилу , является бинарной, коммутативной, ассоциативной, но необратимой операцией. Обладает ли алгебраическая система (Z,◦) нейтральным элементом?
  8. Докажите, что на множестве М матриц вида , где х – любое действительное число, бинарная операция матричного умножения обратима.
  9. Покажите, что множество {1, 0, -1} образует полугруппу относительно обычной операции умножения.
  10. Докажите, что во множестве К, содержащем не менее двух элементов, на котором формулой а ◦ b = b задана бинарная операция, не существует нейтрального элемента.

Задание 2.

Является ди данное отображение изоморфным отображением указанных алгебр.


Задание 3.

0. Является ли группой множество чисел вида а + b относительно сложения, если а и в любые рациональные числа.
1. Является ли множество квадратных трехчленов вида А = {ах2+bх+с а, b, с ∈ R} группой относительно сложения?
2. Является ли множество (Z, ◦) группой, если а ◦ b = 2а + 3b?
3. Образуют ли группу положительные числа, если операция определна так а ◦ b = а2 b2?
4. Является ли множество М целых чисел , кратных трем подгруппой аддитивной группы Z?
5. Докажите, что в аддитивной группе R2 множество пар вида (а, 0) образует подгруппу.
6. Образует ли группу множество, состоящее из степеней данного действительного числа а, а ≠ 0, ± 1, с целыми показателями относительно умножения?
7. На множестве Q\{0} определено действие а ◦ b=ab/2 . Докажите, что относительно указанного действия данное множество является группой.
8. Пусть а ◦ а = е для любого элемента а мультипликативной группы G. Докажите, что группа G является абелевой.
9. Докажите, что если в группе <G1, • > для любого а ∈ G а-1 = а, то группа G – абелева.

Задание 4.

Выясните, образует ли поле следующее множество относительно указанной операции.
0. Множество всех матриц вида , а, b ∈ Q относительно сложения и умножения матриц.
1. Множество всех матриц вида , а, b ∈ Q относительно сложения и умножения матриц.
2. Множество всех матриц вида , а ∈ R относительно сложения и умножения матриц.
3. Множество чисел вида а + b√2 с целыми а и b относительно сложения и умножения чисел.
4. Множество чисел вида а + b√3 с целыми а и b относительно сложения и умножения чисел.
5. Множество пар (а, b) рациональных чисел относительно бинарных операций, заданных по следующим правилам:
(а,b) + (с,d) = (а+с, b+d)
(а,b) • (с,d) = (ас+2bd; аd+bс)
6. Множество упорядоченных пар (а, b) в котором сложение и умножение определены по следующим правилам:
(а,b) + (с,d) = (а+с, b+d)
(а,b) • (с,d) = (ас+5bd; аd+bс), где а и b любые рациональные числа.
7. Множество упорядоченных пар (а, b) в котором сложение и умножение определены по следующим правилам:
(а,b) + (с,d) = (а+с, b+d)
(а,b) • (с,d) = (ас-bd; аd+bс), где а и b любые рациональные числа.
8. Множество L чисел вида а + b√3 + с√5 , а, b ∈ Z относительно обычных операций сложения и умножения чисел.
9. Множество комплексных чисел вида а +bi с рациональными а и b относительно сложения и умножения.

Задание 5.

Для 0 – 6 : Решить систему уравнений.

Для 7 – 9 : Выполнить указанные действия.

Задание 6.

Определить, какое множество точек комплексной плоскости задается условием.

Задание 7.

Вычислить

Задание 8.

Выясните, является ли линейным подпространством.
0. Множество векторов пространства Rn, компоненты которых целые числа.
1. Множество векторов плоскости, исходящих из начала координат, концы которых лежат на данной прямой.
2. Множество векторов плоскости, исходящих из начала координат, концы которых лежат на одной из осей координат.
3. Множество векторов плоскости, исходящих из начала координат, концы которых лежат во II четверти.
4. Множество векторов пространства вещественных квадратных матриц порядка n над полем R, состоящее из невырожденных матриц.
5. Множество всех векторов плоскости, концы которых лежат I четверти системы координат.
6. Множество векторов плоскости, исходящих из начала координат, концы которых лежат на данной прямой.
7. Множество векторов пространства вещественных квадратных матриц с целочисленными коэффициентами.
8. Множество векторов пространства вещественных квадратных матриц порядка n над полем R, состоящее из матриц, у которых первая строка нулевая.
9. Множество векторов пространства вещественных квадратных матриц порядка 2 над полем R, состоящее из матриц вида
.

Задание 9.

Для 0,1: Решите векторное уравнение 2а + 3а - а - 7х = а , если:

0. а1 = (-1, 2, -3, 4), а2 = (-1, -1, -1, 5), а3 = (2, -5, -1, 3), а4 = (2, 1, -2, -1) 1.
Для 2,3: Решите уравнение 3(а1 - 2х) + 5(а1 + а3 - 3х) = 2(а3 - 4х),
если:
2. а1 = (4, 3), а2 = (2, -1), а3 = (-1, 4)
3. а2 = 4 + 3ί, а2 = 2 - ί, а3 = -1 + 4ί
Для 4: Найти вектор х из уравнения 3(а1 - х) + 2(а2 + х) = 5(а3 +х),
где: а1 = (2, 5, 1, 3), а2 = (10, 1, 5, 10), а3 = (4, 1, -1, 1)

Для 5-8: Найти линейную комбинацию 3а1 - 2а2 + 8а3 векторов
а1, а2, а3, если:

5. а1 = (1, 2, 1, 2), а2 = (-1, -3, 4, 5), а3 = (-5, 0, 2, 3)

6.

7. а1 = 1 + 2х + х2 + 2х3 , а2 = -1 – 3х + 4 х2 + 5х3 , а3 = -5 + 2 х2 + 3х3

8. а1 = (1, -1, 0, 4), а2 = (16, 4, 7, -2), а3 = (5, 2, 2, -3)

Для 9: Найти вектор х из уравнения а1 + 2а2 + 3а3 +4х = 0, где

а1 = (5, -8, -1, 2), а2 = (2, -1, 4, -3), а3 = (-3, 2, -5, 7)

Задание 10.

Найти ранг, базис системы векторов и выразить через базис остальные векторы системы.
0.
а1 = ( 5, 2, -3, 1)
а2 = ( 4, 1, -2, 3)
а3 = ( 1, 1, -1, -2)
а4 = ( 3, 4, -1, 2)
1.
а1 = ( 2, 1, -3, 1)
а2 = ( 4, 2, -6, 2)
а3 = ( 6, 3, -9, 3)
а4 = ( 1, 1, 1, 1)
2.
а1 = ( 1, 2, 3, 4)
а2 = ( 2, 3, 4, 5)
а3 = ( 3, 4, 5, 6)
а4 = ( 4, 5, 6, 7)

3.
а1 = ( 4, -1, 3, -2)
а2 = ( 8, -2, 6, -4)
а3 = ( 3, -1, 4, -2)
а4 = ( 6, -2, 8, -4)
4.
а1 = ( 2, -1, 3, 5)
а2 = ( 4, -3, 1, 3)
а3 = ( 3, -2, 3, 4)
а4 = ( 4, -1, 15, 17)
а5 = ( 7, -6, -7, 0)
а1 = ( 1, 2, 3, -4)
5.
а2 = ( 2, 3, -4, 1)
а3 = ( 2, -5, 8, -3)
а4 = ( 5, 26, -9, -12)
а5 = ( 3, -4, 1, 2)
6.
а1 = ( 4, 3, -1, 1, -1)
а2 = ( 2, 1, -3, 2, -5)
а3 = ( 1, -3, 0, 1, –2)
а4 = ( 1, 5, 2, -2,6)
7.
а1 = ( 2, -1, 3, 4, -1)
а2 = ( 1, 2, -3, 1, 2)
а3 = ( 5, -5, 12, 11, -5)
а4 = ( 1, -3, 6, 3, -3)
8.
а1 = ( 4, 3, -1, 1, -1)
а2 = ( 2, 1, -3, 2, -5)
а3 = ( 1, -3, 0, 1, -2)
а4 = ( 1, 5, 2, -2, 6)
9.
а1 = ( 2, 3, -4, -1)
а2 = ( 1, -2, 1, 3)
а3 = ( 5, -3, -1, 8)
а4 = ( 3, 8, -9, -5)

Задание 11.

Для 0: Найдите длины арифметических векторов
а = (3, 2, 1, 1, 1), b = (-5, 0, √3 , -2√3 )
и расстояние между точками
х = (5, 7, 5, 7, 2), у = (6, 4, 4, 4, 6)

Для 1, 2: Определите угол между векторами а и b:

1. а = (2, 1, 3, 2), b = (1, 2, -2, 1)

2. а = (4, 0, 2, 0, 4), b = (3, 3, 3, 3, 0)

Для 3,4: Определите длины сторон и внутренние углы треугольника,
вершины которого А, В, С заданы соответственно векторами:
3. а = (0, 2, 1), b = , с = (1, 2, 0)
4. а = (3, -1, 3, -1), b = (4, 0, 2, 0), с = (3, 1, 3, 1)

Для 5: Покажите, что в любом евклидовом пространстве для всякого вектора х и всякого действительного а

Для 6,7: Докажите, что в любом n-мерном евклидовом пространстве справедливы теоремы:

6. сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

7. квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его ребер, выходящих из одной вершины.

Для 8: Докажите, что любых векторов а и b евклидова пространства имеет место равенство:

Для 9: Докажите, что если а и b – такие векторы евклидова пространства, для которых |a|=|b| , то

( a – b, a + b) = 0

start/zadanija_dlja_individualnoj_raboty.txt · Последние изменения: 2015/01/14 12:30 — sinizkaja_nadja