Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

start:voprosy_k_ehkzamenu

Вопросы к экзамену (1 семестр) для студентов направления «Прикладная математика и информатика»

«Векторная алгебра», «Уравнения линий и поверхностей», «Линейные образы на плоскости и в пространстве», «Множества и отношения», «Системы линейных уравнений и неравенств», «Матрицы и определители»

1. Векторы, операции над векторами, свойства операций.

2. Линейная зависимость и независимость векторов. Основные теоремы о линейной зависимости (доказать любые две).

3. Скалярное произведение векторов, векторное и смешанное произведение: свойства, координатные представления.

4. Различные уравнения прямой на плоскости, их взаимосвязь. Взаимное расположение прямых на плоскости.

5. Уравнение плоскости, способы задания плоскости. Расстояние от точки до прямой.

6. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

7. Различные уравнения прямой в трехмерном пространстве. Взаимное расположение прямых.

8. Взаимное расположение прямой и плоскости в трехмерном пространстве.

9. Множества, операции над ними.

10.Бинарные отношения, свойства. Отображение. Отношение порядка.

11.Системы линейных уравнений. Основные понятия. Теорема об элементарных преобразованиях системы.

12.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Однородные системы линейных уравнений.

13.Системы линейных неравенств.

14.Операции над матрицами. Свойства операций. Обратимые и элементарные матрицы.

15.Решение систем линейных уравнений в матричной форме.

16.Подстановки четные и нечетные. Знак подстановки. Определитель квадратной матрицы.

17.Основные свойства определителей. Разложение определителя по строке или столбцу. Миноры и алгебраические дополнения.

18.Нахождение обратной матрицы с помощью определителей. Применение теории определителей к решению систем линейных уравнений.

Вопросы к экзамену (2 семестр) для студентов направления «Педагогическое образование. Профиль:Математика и информатика»

Темы: «Системы линейных уравнений и неравенств», «Матрицы и определители», «Основные алгебраические системы», «Поле комплексных чисел», «Векторные пространства», «Линейное отображение векторных пространств», «Евклидово и унитарное пространство», «Многочлены от одной и нескольких переменных», «Многочлены над числовыми полями»

1. Системы линейных уравнений. Основные понятия. Теорема об элементарных преобразованиях системы.

2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

3. Системы линейных неравенств. Основные понятия. Решение систем линейных неравенств путем последовательного исключения переменных.

4. Понятие матрицы. Операции над матрицами. Свойства матриц. Обратимые и элементарные матрицы.

5. Решение систем линейных уравнений в матричной форме.

6. Подстановки четные и нечетные. Знак подстановки.

7. Определитель квадратной матрицы. Основные свойства определителей. Разложение определителя по строке или столбцу. Миноры и алгебраические дополнения.

8. Нахождение обратной матрицы с помощью определителей. Применение теории определителей к решению систем линейных уравнений.

9. Алгебры. Гомоморфизмы и изоморфизмы алгебр.

10.Группы и их простейшие свойства. Гомоморфизм, изоморфизм групп. Подгруппы. Примеры. Критерий подгруппы.

11.Понятие кольца. Основные свойства колец. Гомоморфизм, изоморфизм колец. Понятие подкольца. Примеры. Критерий подкольца.

12.Поле. Простейшие свойства поля. Подполе. Числовые поля.

13.Поле комплексных чисел. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

14.Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме (умножение, деление, возведение в степень). Теорема о корне n – ой степени из комплексного числа. Корни n-ой степени из единицы.

15.Векторное пространство. Примеры. Простейшие свойства. Подпространства. Критерий подпространства. Сумма, прямая сумма подпространств.

16.Линейные операторы. Свойства. Задание линейного оператора при помощи отображения базиса. Ядро, дефект, образ и ранг линейного оператора.

17.Матрица линейного оператора. Связь между координатными столбцами вектора и его операторного образа. Связь между координатными столбцами вектора относительно различных базисов, между матрицами линейного оператора относительно различных базисов.

18.Действия над линейными операторами.

19.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Свойства. Нахождение собственных векторов линейного оператора с собственным значением.

20.Обратимые операторы. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.

21.Евклидовы пространства.

22.Ортогональные матрицы и ортогональные линейные операторы.

23.Построение кольца многочленов от одной переменной. Степень многочлена. Теоремы о степени суммы и степени произведения многочленов.

24.Отношение делимости в кольце многочленов. Свойства. Корни многочлена. Теорема Безу. Критерий корня. Схема Горнера. Кратные корни многочлена.

25.Кольцо многочленов над полем. Теорема о делении с остатком многочленов над полем.

26.Наибольший общий делитель многочленов. Свойства НОД. Алгоритм Евклида.

27.Взаимно-простые многочлены, их свойства. Наименьшее общее кратное многочленов над полем. Свойства НОК многочленов. 28.Приводимые и неприводимые многочлены. Свойства неприводимых многочленов. Теорема о разложении многочлена на неприводимые множители. Каноническое представление многочлена.

29.Формальная производная многочлена. Свойства производной. Формула Тейлора. Корни многочлена и его производных. Неприводимые множители многочлена и его производной.

30.Рациональные корни многочленов.

31.Построение кольца многочленов от нескольких переменных. Лексикографическая запись многочлена от нескольких неизвестных. Теорема о высшем члене произведения многочленов.

32.Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах.

33.Результант полиномов. Исключение переменных. Формулы Виета.

34.Поля разложения многочленов. Алгебраически замкнутое поле. Основная теорема алгебры.

35.Многочлены над полем действительных чисел. Многочлены над полем рациональных чисел. Неприводимые над полем Q многочлены. Лемма Гаусса. Критерий Эйзенштейна неприводимости многочленов над полем Q.

36.Уравнение третьей степени. Формулы Кардано. Уравнение четвертой степени. Метод Феррари.

start/voprosy_k_ehkzamenu.txt · Последние изменения: 2016/11/25 08:49 — admin