Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

start:teoreticheskij_material_pole

§1. Определение.

Определение. Поле Р — это коммутативное кольцо с единицей 1 ≠ 0, в котором каждый элемент а ≠ 0 обратим. Группа Р* = U(P) называется мультипликативной группой поля.
Поле представляет собой гибрид двух абелевых групп — аддитивной и мультипликативной, связанных законом дистрибутивности (теперь уже одним ввиду коммутативности). Произведение ab-1 записывается обычно в виде дроби (или отношения, частного) a/b , которую для экономии места на бумаге изображают еще посредством косой черты а/b. Следовательно, дробь а/b, имеющая смысл только при b ≠ 0, является единственным решением уравнения bх = а. Действия с дробями подчиняются нескольким правилам: (8)

Это обычные «школьные» правила» но их надо не запоминать, а выводить из аксиом поля, что, впрочем, не представляет никаких трудностей. Вот рассуждения, достаточные для получения второго из правил (8). Пусть х = а/b и у = c/d — решения уравнений bх=а и dy=c. Из этих уравнений следует: dbx = da, bdy = bc ⇒ bd(x + у) = da + bc ⇒t = x + у = (da + bc) /bd — единственное решение уравнения bdt = da + bc.
Подполем F поля Р называется подкольцо в Р, само являющееся полем. Например, поле рациональных чисел Q—подполе поля вещественных чисел R.
В случае F ⊂ Р говорят также, что поле Р явяется расширением своего подполя F. Из опредеения подполя следует, что нуль и единица поля Р будут содержаться также и в F и служить для F нулем и единицей. Если взять в Р пересечение F1 всех подполей, содержащих F и некоторый элемент а ∈ Р, не принадлежащий F, то F1 будет минимальным полем, содержащим множество {F, а}. Говорят, что расширение F1 поля F получено присоединением к F элемента а, и отражают этот факт в записи F1= F(a). Аналогично можно говорить о подполе F1= F(a1, …, ап) поля Р, полученном присоединением к F п элементов а1, …, ап поля Р.
Небольшая проверка показывает, что Q (√2) совпадает с множеством чисел а + b √2 , где а, b ∈ Q, поскольку (√2)^2=2 и 1/(a+b√2)=a/(a^2-2b^2 )-b/(a^2-〖2b〗^2 ) √2 при a+b√2≠0. То же самое относится к Q (√3 ), Q (√5 ) и т. д.
Поля Р и Р' называются изоморфными, если они изоморфны как кольца. По определению f(0)=0/ и f(1)=1’ для любого изоморфного отображения f. Не имеет смысла говорить о гомоморфизмах полей, так как Кеr f ≠ 0 ⇒ f (a) = 0, a ≠ 0 ⇒ f (1) = f (aa-1 ) = f (a) f (a-1) = 0 • f (a-1)=0⇒∀b f(b)=f(1•b)=f(1)f(b)=0•f(b)=0=Ker f=P. Напротив, автоморфизмы, т. е. изоморфные отображения поля Р на себя связаны с самыми глубокими свойствами полей и являются мощным инструментом для изучения этих свойств в рамках так называемой теории Галуа.
Понятие расширения полей вполне созвучно известному стремлению человечества увеличивать запас используемых чисел. Довольно медленный процесс, который условно изображается диаграммой: {один} ⇝⇝ {один да один есть два} ⇝N⇝ {N, 0} ⇝Z⇝Q⇝Q(√2)⇝R и который продолжался вплоть до наших дней, привел к чрезвычайно разветвленной сети полей, весьма далеких от привычных числовых. Не все этапы этого процесса были чисто алгебраическими. Скажем, переход от рациональных чисел к вещественным (или действительным), основывающийся на понятии непрерывности и полноты (существование пределов у последовательностей Коши), и поныне разбирается в курсах математического анализа. В то же время совершенно аналогичная конструкция полей p - адических чисел, которой мы здесь не касаемся, и выросший на ее основе современный p- aдический анализ — достойные детища трех областей — теории чисел, алгебры и анализа.

§2. Характеристика поля.

В §2 было построено конечное кольцо классов вычетов Zm с элементами

и операциями сложения и умножения. Если m = st, s > 1, t > 1, то — делители нуля в Zm. Пусть теперь т = р — простое число. Утверждается, что Zp — поле (из р элементов). Для р = 2, 3 это прямо видно из таблиц умножения, выписанных в §2. В общем случае достаточно установить существование для каждого обратного элемента (целые числа s и s' не должны, очевидно, делиться на р). Рассмотрим элементы
(9)
Они все отличны от нуля, так как s ≢ (mod p)⇒ ks ≢ 0 (mod p) при k = 1, 2, …, р—1. Здесь используется простота р. По той же причине элементы (9) все различны: из следовало бы , что неверно. Итак, последовательность элементов (9) совпадает с последовательностью переставленных каким-то образом элементов

В частности, найдется s', 1 ≤ s' ≤ р— 1, для которого . Но это и значит, что — обратный к s элемент. Нами доказана
Теорема 3. Кольцо классов вычетов Zm является полем тогда и только тогда когда m = р — простое число.
Следствие (малая теорема Ферма). Для любого целого числа m, не делящегося на простое число р, имеет место сравнение m^(p-1)≡1(mod p). Доказательство. Как мы видели,

(заменить в (9) s на т и принять во внимание равенства р — 1. Поэтому, перемножая по отдельности все элементы в левой и правой части, получим

Поскольку Zp— кольцо без делителей нуля, по теореме 1 множитель можно сократить m ̅^(p-1)=1 ̅. На языке сравнений имеем то, что нужно.
Справедлива более общая теорема Эйлера, но необходимость в ней возникает лишь в ВАЗ.
Поля Z2, Z3, Z5, …, столь не похожие на известные нам поля Q, Q( √2), R, заняли в алгебраической иерархии полей место, вполне сопоставимое по своему значению с местом, давно отведенным_для Q. Дело здесь вот в чем. Пусть Р — поле. Как мы уже отмечали, пересечение ⋂_i P_i любого семейства подполей {Pi,| i ∈I } будет подполем в Р.
Определение. Поле, не обладающее никаким собственным подполем, называется простым.
Теорема 4. В каждом поле Р содержится одно и только одно простое поле Ро. ЭТО простое поле изоморфно либо Q, либо Zp для некоторого простого р.
Доказательство. Допустив существование двух различных простых подполей Р', Р« ⊂ Р, мы неизбежно придем к выводу, что их пересечение P'∩Р» (очевидно, непустое, поскольку 0 и 1 содержатся как в Р', так и в Р«) будет полем, отличным от Р' и Р». Это, однако, невозможно ввиду их простоты. Стало быть, простое подполе P0⊂ P единственно.
В Ро наряду с единичным элементом 1 содержатся все его кратные n•1=1+… + 1. Из общих свойств операций сложения и умножения элементов в кольцах следует, что
s • 1+ t • 1 = (s + t) • 1, (s • 1)(t • 1) = (s t) • 1; s, t ∈ Z
Поэтому отображение f кольца Z в Р, определен¬ное правилом f(n)= nl, является гомоморфизмом, ядро которого имеет вид Ker f = mZ. Если т = 0, то f—изоморфизм, и дроби (s • l)/(t • l), имеющие смысл в Р (поскольку Р — поле), образуют поле Р0, изоморфное Q. Оно и будет простым подполем в Р.
Если же m > 0, то, очевидно, отображение f*, определенное по правилу
f*: k ̅ = {k}m → f(k),
будет изоморфным вложением Zm—> P. По теореме 3 это возможно только тогда, когда т = р — простое число. Стало быть, f*(ZP) — простое подполе в Р.
Определение. Говорят, что поле Р имеет характеристику нуль, если его простое подполе Р0 изоморфно Q; Р — поле простой (или конечной) харак-теристики р, если Р0 ≅ Zp. Соответственно пишут char Р = 0 или char Р = р > 0.
Вместо Zp обозначением «абстрактного» поля из р элементов служит обычно Fp или GF(p) (Galois Field — поле Галуа). Следует иметь в виду, что существует конечное поле GF(q) с q = pn элементами, где р — простое, а n — любое целое положительное число. Ограничимся лишь примером поля из четырех элементов {0, 1, α, β }:

Чем являются α и β, нас пока не интересует. Рекомендуется проверить выполнение закона дистрибутивности. Иногда нулевую характеристику называют бесконечной в соответствии с ее интерпретацией как порядка элемента 1 в аддитивной группе поля Р. Аналогично конечная характеристика р — общий порядок любого ненулевого элемента в аддитивной группе px = x + … + x = 1• x + … + 1• x = ( 1 + … + 1) x = (p • 1) x =0.

§3. Замечание о линейных системах.

Настала пора окинуть мысленным взором изложенную в предыдущих главах теорию систем линейных уравнений и выросшую из нее теорию определителей. Коэффициентами в линейных уравнениях и элементами матриц у нас были числа — рациональные или веществен¬ные, но специфика этих чисел никак не использовалась. Нет никаких препятствий к тому, чтобы взять теперь вместо чисел элементы фиксированного поля Р. При этом и результаты должны формулироваться в терминах поля Р: компоненты решения линейной системы и значения функции det будут лежать в Р. Метод Гаусса решений систем линейных уравнений, теория определителей, правило Крамера остаются справедливыми (без существенных изменений) для произвольного поля Р.
Как мы видим, ответ существенно зависит от рассматриваемого поля Р, но анализ системы ничем не отличается от обычного. Стало быть, одно из преимуществ перехода от R и Q к произвольному полю заключается в устранении дублирования сходных рассуждений. Но имеются к тому и более веские причины.
Говоря о полной линейной группе, мы до сих пор считали ее группой всех невырожденных матриц с коэффициентами из Q или R. Совокупность квадратных матриц порядка п с коэффициентами в произвольном поле Р составляет кольцо матриц Мп(Р), а подмножество всех невырожденных матриц А ∈ Mn(Р) (матриц с det A ≠ 0) приводит к понятию полной линейной группы GLn(P) над полем Р. Варьируя поле Р, например, полагая Р = Fp, можно естественным путем получить ряд важных групп.
Поля типа R, Q, Q(√2) и пр. называются обыч¬но числовыми полями. Поле Fp — пример нечислового поля: было бы неправильным называть его элементы числами лишь на том основании, что они часто отождествляются с элементами множества {0, 1, …, р— 1}.

start/teoreticheskij_material_pole.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)