Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

start:teoreticheskij_material_kolca_i_polja

Теория

§1. Определение и общие свойства колец.

Алгебраические структуры (Z,+), (Z, •) выступали у нас в качестве самых первых примеров моноидов, причем на (Z, +) мы смотрели позднее как на аддитивную абелеву (фактически циклическую) группу. В повседневной жизни, однако, эти структуры чаще всего объединяются и получается то, что в математике называется кольцом. Важный элемент элементарной арифметики заключен в дистрибутивном (или распределительном) законе (а + b)с = ас + bc, кажущемся тривиальным только в силу приобретенной привычки. Попытавшись, например, объединить алгебраические структуры (Z,+), (Z, °), где n ° m = n + m + nm, мы уже не заметим столь хорошей согласованности между двумя бинарными операциями. Прежде чем переходить к дальнейшим примерам, дадим точное определение кольца.
Определение. Пусть К — непустое множество, на котором заданы две (бинарные алгебраические) операции + (сложение) и • (умножение), удовлетворяющие следующим условиям:
(К1) (K, +) — абелева группа;
(К2) (K, •) — полугруппа;
(КЗ) операции сложения и умножения связаны дистрибутивными законами (другими словами: умно¬жение дистрибутивно по сложению):
(а + b) с = ас + bс , с(а + b) = ca + cb
для всех а, b, c ∈K.
Тогда (K, + , • ) называется кольцом.
Структура (K, +) называется аддитивной груп¬пой кольца, а (K, • ) —его мультипликативной полу¬группой. Если (K, • ) — моноид, то говорят, что (K, +, • ) — кольцо с единицей.
Единичный элемент кольца принято обозначать обычной единицей 1. Существование 1 часто вносится в определение кольца, но мы этого делать не будем.
В приложениях и в общей теории колец (а такая теория, и притом чрезвычайно развитая, существует) рассматриваются алгебраические структуры, в которых аксиома (К2) либо совсем устраняется, либо заменяется другой — в зависимости от конкретной задачи. В таких случаях говорят о неассоциативных кольцах. Пока у нас будут только обычные (ассоциативные) кольца. Это значит, что мы можем опираться на теорему 1 Главы 1 и не заботиться о расстановке скобок в произведении а1а2 … аk любого числа k эле¬ментов кольца.
Подмножество L кольца К называется подколь¬цом, если
x, y ∈ L⇒x — y ∈ L и xy ∈ L,
т. е. если L — подгруппа аддитивной группы и подполугруппа мультипликативной полугруппы кольца.
Ясно, что пересечение любого семейства подколец в К является подкольцом (рассуждения те же, что и в упражнении 1 Главы 2) и, стало быть, имеет смысл говорить о подкольце <T> ⊂ K, порожденном подмножеством Т ⊂ К. По определению < T > — пересечение всех тех подколец в K, которые содержат T. Если с самого начала Т было подкольцом, то < T > = T.
Кольцо называется коммутативным, если ху = ух для всех х, у ∈ К (в отличие от групп, коммутативное кольцо не принято называть абелевым!)
Понятие кольца в том виде, как оно введено нами, является весьма широким. Более того, класс коммутативных колец, кажущийся на первый взгляд довольно специальным, был предметом усиленного изучения в течение многих десятилетий, и в настоящее время теория коммутативных колец переплетается с алгебраической геометрией — красивой математической дисциплиной, пограничной между алгеброй, геометрией и топологией.
Многие свойства колец являются переформулировками соответствующих свойств групп и вообще — множеств с одной ассоциативной операцией. Например, аmаn = am+n, (a+m)n = аmn для всех неотрицательных целых m, n и всех а ∈ К. Другие свойства, более специфические для колец и вытекающие прямо из аксиом кольца, моделируют, по существу, свойства Z. Отметим некоторые из них. Во-первых,
a•0 = 0•a = 0 для всех a ∈K.
(1) Действительно, а + 0 = а ⇒ а(а + 0) = аа ⇒ а2 + а • 0 = а2 ⇒ а2 + a• 0 = а2 + 0 ⇒ a • 0 = 0 (аналогично 0 • а = 0).
Теперь, предположив на момент, что 0 = 1, мы получим а = a • 1 = a • 0 = 0 для всех а ∈K, т. е. K состоит только из нуля. Стало быть, в нетривиальном кольце К всегда 0 ≠ 1. Далее,
( - a ) • b = a (- b ) = - (ab), (2)
поскольку, например, из (1) и аксиомы дистрибутивности следует
0 = a • 0 = a(b — b) = ab + a(— b) ⇒ a(— b) = — (ab). (3)
Так как —(—a) = a, то из (2) получаем равенства (—а) (—b)= ab (например, (—1) (—1)= 1), —а = (—1)• а.
Аксиома дистрибутивности имеет своим след¬ствием общий закон дистрибутивности
(а1+ .. . + аn)(b1 +…+bm) = ∑i=1nj=1maibj(4)
в чем нетрудно убедиться рассуждением по индукции, сначала (при m = 1) по n, а затем по m. Используя теперь (1), (2) и (3), получим
n(ab) = (nа) b = a (nb)
для всех n ∈ Z и а, b ∈K.
Наконец, отметим биномиальную формулу (бином Ньютона)

справедливую для всех а, b ∈ К, но только в комму¬тативном кольце K.

§2. Сравнения. Кольцо классов вычетов.

Пусть m — фиксированное натуральное число, m > 1. Множество mZ, очевидно, замкнуто не только относи¬тельно операции сложения, но и относительно операции умножения, удовлетворяя всем трем аксиомам кольца.
Теперь, используя подкольцо mZ ⊂ Z, построим ненулевое кольцо, состоящее из конечного числа элементов. С этой целью введем
Определение. Два целых числа n, n’ называются сравнимыми по модулю m, если при делении на m они дают одинаковые остатки. При этом пишут n≡n’(m) или n ≡ n' (mod m), а число m называют модулем сравнения.
Получается разбиение Z на классы чисел, сравнимых между собой по модулю т и называемых классами вычетов по модулю m. Каждый класс вычетов имеет вид
{r}m = r + mZ = {r + mk|k ∈ Z},
так что
Z= {0}m U{l}m U…U{m-l}m. (6)
По определению, n ≡ n' (m)⇔ n - n' делится на m. Удобство записи n ≡ n'(m) для отношения делимости m|(n - n') состоит в том, что с такими сравнениями можно оперировать совершенно так же, как с обычными равенствами. А именно,
если k ≡ k'(m) и l ≡ l'(m), то k ± l = k' ± l'(m) и kl ≡ k'l' (m).
В частности, k ≡ k'(m)⇒ks = k's(m) для любого s ∈Z.
Таким образом, каждым двум классам {k}m и {l}m независимо от выбора в них представителей k, l можно сопоставить классы, являющиеся их сум¬мой или произведением, т. е. на множестве Zm= Z/mZ классов вычетов по модулю m однозначным образом индуцируются операции + и • :
{k}m + {l}m={k + l}m,
{k}m • {l}m = {k l}m . (7)
Так как определения этих операций сводятся к соот¬ветствующим операциям над числами из классов вычетов, т. е. над элементами из Z, то {Zm, +, • } будет также коммутативным кольцом с единицей {1}m=1+mZ. Оно называется кольцом классов вычетов по модулю m. При небольшом навыке (и фиксированном модуле) индекс т опускают и пишут k вместо {k}m , так что

Высший этап освоения с Zm, кажущийся на первый взгляд кощунственным, но представляющий явные технические преимущества, заключается в том, что отказываются от черточек и кружочков и оперируют с каким-нибудь фиксированным множеством представителей по модулю m, чаще всего — с множеством {0, 1, 2, …, m—1} (оно называется приведенной системой вычетов по модулю m) . Скажем, в соответствии с этим соглашением, - k = m – k , 2 ( m - 1) = - 2 = m - 2.
Итак, конечные кольца существуют. Приведем три простейших примера, указывая отдельно таблицы сложения и умножения:

Кольцо вычетов Zm издавна привлекало внимание теоретикочисловиков, а в алгебре служило отправным пунктом для разного рода обобщений.

§3. Гомоморфизмы колец.

Отображение f: n —> {п}m обладает в силу (7) следующими свойствами: f(k + l) = f(k)+f(l), f(kl) = f(k) • f(l). Это даетнам основание говорить о гомоморфизме колец Z и Zm в соответствии с общим определением.
Определение. Пусть (K,+, •) и (K’, +, •) — кольца. Отображение f: К→ К' называется гомоморфизмом, если оно сохраняет все операции, т. е. если
f(a+b) = f(а)+f(b),
f(ab) = f(a)•f(b).
При этом, конечно, f(0) = 0' и f(na) = nf(a), n ∈ Z.
Ядром гомоморфизма f называется множество
Кеr f = {а ∈ K| f(а) = 0'}.
Ясно, что Кеr f - подкольцо в К.
Как и в случае групп, гомоморфизм f: K—>К' называется мономорфизмом, если Кеr f = 0; эпиморфизмом, если образ совпа¬дает с К':
Im f = f(K)={a’ ∈ K’| a’= f(a) }= K’;
и изоморфизмом, если отображение f мономорфно и эпиморфно. Факт изоморфизма колец кратко запи¬сывают в виде К ≅ К'. Рассмотренное выше отображение f: n—> {п}т является, очевидно, эпиморфизмом Z→Zm с ядром Кеr f = mZ.
Если рассматривать только кольца с единицей, то в определение гомоморфизма f: К—> К' целесообразно внести условие f(1)=1.
При эпиморфизме это условие, конечно, автоматически выполняется.
Изоморфные кольца тождественны по своим алгебраическим свойствам, и только те свойства колец представляют подлинно математический интерес, которые сохраняются при изоморфных отображениях. Именно это обстоятельство имелось в виду, когда кольцо Zm мыслилось то как множество классов вычетов по модулю m, то как множество произвольным образом выбранных представителей этих классов.

§4. Типы колец.

В хорошо известных нам числовых кольцах Z, Q и R из ab = 0 следует, что либо а = 0, либо b = 0. Но кольцо квадратных матриц Мп над любым из этих колец этим свойством уже не обладает. Используя матрицы Еij, мы приходим к равенствам EijEki = 0 при j ≠ k, хотя, конечно, Еij ≠ 0 и Eki ≠0. Заметим, что EikEkj = Еij ≠ 0. Можно было бы приписать столь необычный для элементарной арифметики феномен некоммутативности кольца Мn, но это не так. В коммутативном кольце Z4 выполнено равенство 2 • 2 = 0, вопреки общеизвестной истине «дважды два — четыре».
Определение. Если ab = 0 при а ≠ 0 и b ≠ 0 в кольце К , то а называется левым, а b — правым делителем нуля (в коммутативном кольце K говорят просто о делителях нуля). Сам нуль в кольце К ≠ 0 — тривиальный делитель нуля. Если других делителей нуля нет (кроме 0), то К называется кольцом без делителей нуля. Коммутативное кольцо с единицей 1 ≠ 0 и без делителей нуля называют целостным кольцом (кольцом целостности или областью целостности).
Теорема 1. Нетривиальное коммутативное кольцо К с единицей является целостным тогда и только тогда, когда в нем выполнен закон сокращения:
ab = ac, а ≠ 0 ⇒ b = с
для всех а, b, с ∈ К.
В самом деле, если в К имеет место закон сокращения, то из ab = 0 = а • 0 следует, что либо а = 0, либо а ≠ 0, но b = 0. Обратно, если К — область целостности, то аb = ас, а ≠ 0 ⇒ а (b — с) = 0 ⇒ b – c = 0 ⇒ b = c.
В кольце K с единицей естественно рассматривать множество обратимых элементов: элемент а называется обратимым (или делителем единицы), если существует элемент а-1, для которого аа-1 = 1 = а-1а. Точнее, следовало бы говорить об элементах, обратимых справа или слева (ab = 1 или ba = 1), но в коммутативных кольцах, а также в кольцах без делителей нуля эти понятия совпадают. Действительно, из ab = 1 следует аbа = а, откуда а(bа — 1) = 0. Так как а ≠ 0, то bа — 1 = 0, т. е. bа = 1.
Нам известно, например, что в кольце Мп обратимые элементы — это в точности матрицы с отлич¬ным от нуля определителем. Обратимый элемент а не может быть делителем нуля:
аb = 0 ⇒ a-1(ab) = 0 ⇒(a-1a)b = 0 ⇒ 1 • b = 0 ⇒ b = 0 (аналогично bа = 0 ⇒ b = 0). Неудивительно поэтому, что имеет место
Теорема 2. Все обратимые элементы кольца К с единицей составляют группу U(K) no умножению.
В самом деле, так как множество U(K) содержит единицу, а ∈ U (К) ⇒ a-1 ∈ U{K) и ассоциативность по умножению в K выполнена, то нам нужно только убедиться в замкнутости множества U(K), т. е. проверить, что произведение ab любых двух элементов а и b из U(K) будет снова принадлежать U(K). Но это очевидно, поскольку (ab)-1 = b-1a-1 (ab•b-1a-1 = =a(bb-1)a-1 = a•1• a-1 = aa-1 = 1), и, значит, ab обратим.
Нетрудно видеть, что U (Z) = {±1} — циклическая группа порядка 2.
Мы получим весьма интересный класс колец — так называемые кольца с делением, или тела, заменив в определении кольца аксиому (К2) на существенно более сильное условие (К2'): относительно операции умножения множество K* = K\{0} является группой. Кольцо с делением, стало быть, всегда без делителей нуля и каждый ненулевой элемент в нем обратим. Операции сложения и умножения становятся почти полностью симметричными в коммутативном кольце с делением, которое называется полем.

start/teoreticheskij_material_kolca_i_polja.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)