Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

start:teoreticheskij_material_gruppy

Теория

§1. Определение и примеры.

Рассмотрим множество GLn(R) всех n×n - матриц с вещественными коэффициентами и с отличным от нуля определителем. Согласно теореме det A ≠ 0, det B ≠ 0 ⇒ det AB ≠ 0. Мы видим, что A, B ∈ GLn(R) ⇒ ↔ AB ∈ GLn(R); далее, (АВ)С=А(ВС) и существует выделенная матрица Е такая, что АЕ = ЕА =А для всех A ∈ GLn(R). Кроме того, у каждой матрицы А ∈ GLn(R) имеется «антипод» - обратная матрица А-1 , для которой АА-1 = А-1 А = Е.
Множество GLn(R), рассматриваемое вместе с законом композиции (бинарной операцией) (А,B) → АВ и называемое полной линейной группой степени п над R, можно было бы коротко определить как подмоноид всех обратимых элементов моноида (Mn(R), •, Е). Но этот подмоноид настолько важен, что он заслуживает специального названия и дает веский повод ввести общее
Определение. Моноид G, все элементы которого обратимы, называется группой. Другими словами, предполагаются выполненными следующие аксиомы:
(G0) на множестве G определена бинарная операция: (х,у)→ ху;
(G1) операция ассоциативна: (ху)z = x(yz) для всех х, у, z ∈ G;
(G2) G обладает нейтральным (единичным) элементом е: хе = ех = х для всех х ∈ G;
(G3) для каждого элемента x ∈ G существует обратный x-1: хх-1 = х-1х = е.
Указанным аксиомам удовлетворяет алгебраическая система Sn , названная нами симметрической группой перестановок степени n. Фактически этим важнейшим примером мы предварили общее определение группы.
Удивительно, что одна из старейших и богатейших по результатам областей алгебры, играющая фундаментальную роль в геометрии и в приложениях математики к вопросам естествознания, основывается на столь простых аксиомах. Небольшой анализ показывает, что их можно еще упростить, но эта задача для нас не принципиальна.
Группа с коммутативной операцией называется, естественно, коммутативной, а еще чаще — абелевой (в честь норвежского математика Абеля). Самый термин «группа» принадлежит французскому математику Галуа — подлинному создателю теории групп. Идеи теории групп «носились в воздухе» (как это часто бывает с основополагающими математическими идеями) задолго до Галуа, и некоторые из ее теорем в наивной форме были доказаны еще Лагранжем. Гениальные работы Галуа оказались непонятыми, и возрождение интереса к ним началось только после книги Жордана «Курс теории перестановок и алгебраических уравнений» (1870 г.). Лишь к концу XIX века в теории групп «совершенно отказываются от фантазии. Взамен этого тщательно препарируется логический скелет» (Ф. Клейн, «Лекции о развитии математики в XIX столетии»).

§2. Циклические группы.

Пусть G — мультипликативная группа (т. е. с операцией умножения), а — ее фиксированный элемент. Если любой элемент g ∈ G записывается в виде g = ап для некоторого n ∈ Z, то говорят, что G = < а > — циклическая группа с образующим а (или циклическая группа, порожденная элементом а). Аналогично циклическая группа определяется в аддитивном случае: < а > = {na|n ∈ Z}. Это, конечно, не означает, что все элементы ап или па попарно различны. Условимся в обозначении (а-1)k = а-k и убедимся в справедливости следую¬щего утверждения.
Теорема 1 : Каковы бы ни были m, n ∈ Z
aman=am+n ,(am)n=amn
(соответственно ma+na=(m+n)a, n(ma) = (nm)a).
Доказ ательство. При неотрицательных m,n. Если m <0, п <0, то m’=-m>0, n’= -n > 0 и
aman=(a-1)m’(a-1)n’=(a-1)m’+n’=a-(m’+n’)=am+n.
При т’ = —т > 0, п > 0 имеем

aman=(a-1)m’an = (a-1 … а-1)(а … а) = аn-т'

(или (а-1)m’-n, если m’≥n)=am+n.
Аналогично рассматривается случай т > 0, п < 0. Равенство (ат)п=атп вытекает из предыдущего и достаточно очевидно из определения степеней.
Простейшим примером циклической группы служит аддитивная группа целых чисел (Z, +, 0), порожденная обычной единицей 1 или -1. Легко проверить, далее, что матрица порождает в SL2(Z) бесконечную циклическую подгруппу. Множество {1,—1} является по умножению циклической группой порядка 2
Пусть снова G - произвольная группа, а — некоторый ее элемент. Имеются две возможности: 1) Все степени элемента а различны, т. е.m ≠ n⇒am ≠ an. В этом случае говорят, что элемент а ∈ G имеет бесконечный порядок. 2) Имеются совпадения ат=ап при т ≠ п. Если, например, т > n, то ат-п = е, т. е. существуют положительные степени элемента a ∈ G , равные единичному элементу. Пусть q— наименьший положительный показатель, для которого aq = е. Тогда говорят, что а — элемент конечного порядка q. В конечной группе G (Card G <∞) все элементы, разумеется, будут конечного порядка.
На фоне приведенного выше примера циклической группы порядка п следующее утверждение почти очевидно.
Теорема 2. Порядок любого элемента а ∈ G (G—абстрактная группа) равен Card < a >. Если а - элемент конечного порядка q, то
< а > = {е, а, …, аq-1} и ak = e⇔k = lq, l ∈ Z.
Доказательство. В случае элемента бесконечного порядка доказывать нечего. Если а — элемент порядка q, то по определению все элементы е, а, а2, …, аq-1 различны. Любая другая степень ak совпадает с одним из этих элементов, т. е. < а > = {е, а, …, аq-1}. В самом деле, воспользовавшись алгоритмом деления в Z, запишем показатель k в виде
k = lq + r, 0 ≤ r ≤ q-1,
после чего, оперируя со степенями по правилам, изложенным в теореме 1, получим
ak = (aq)l ar = ear=ar.
В частности, ak = e ⇒ r=0⇒k=lq.

§3.Изоморфизмы.

Как уже отмечалось ранее, три вращения φ_0,φ_1,φ_2 против часовой стрелки на углы 0°, 120°, 240° переводят правильный треугольник Р3 в себя. Но имеются еще три оcевых преобразования симметрии (отражения ψ_1 〖,ψ〗_2,ψ_3 с указанными на рис.1 осями симметрии 1- -1', 2- -2', 3- -3'. Всем шести преобразованиям симметрии соответствуют перестановки на множестве вершин треугольника. Мы получаем


Так как других перестановок степени 3 нет, то можно утверждать, что группа D3 всех преобразований симметрии правильного треугольника обнаруживает большое сходство с симметрической группой S3.
В том же смысле близки друг другу циклические группы Сп и <(12… n)> ⊂ Sn . Эти факты, а также общие размышления о группах не могут не приводить к весьма естественному вопросу о наиболее существенных свойствах групп. На первый взгляд полная информация содержится в таблице умножения группы G, называемой таблицей Кэли:

Действительно, многие закономерности группы можно уловить из рассмотрения ее таблицы Кэли или, что то же самое, — матрицы М = (тij) (размера п ×n, если п = (G : е)) с элементами тij = gigj ∈ G. Мы замечаем, например, что среди элементов каждой строки и каждого столбца матрицы М любой элемент группы G встречается ровно один раз. Группа G абелева тогда и только тогда, когда матрица М — симметрическая, т. е. тij = mji. Этот список свойств можно было бы продолжить, но всетаки сравнивать две таблицы для групп G, G' одинакового порядка довольно затруднительно, потому что вид матрицы М зависит от нумерации (расположения) элементов группы, а уж в случае бесконечных групп ситуация еще более усложняется.
Самый правильный и самый радикальный подход к различению (или, напротив, к отождествлению) групп G и G' предлагает понятие изоморфизма.
Определение. Две группы G и G' с операциями * и ° называются изоморфными, если существует отображение f: G →G' такое, что:
(i) f(a *b) = f(a) ° f(b) для всех a, b ∈ G;
(ii) f биективно.

Факт изоморфизма групп часто обозначается символически G ≅ G'.
Отметим простейшие свойства изоморфизма.

1) Единица переходит в единицу. Действительно, если е — единица группы G, то е*а = а*е=а, и, значит, f(e)°f(a)=f(a)° f(e) = f(a), откуда следует, что f(e)=e’ — единица группы G'. В этом рассуждении использованы, хотя и частично, оба свойства f. Для (i) это очевидно, а свойство (ii) обеспечивает сюръективность f, так что элементами f(g) исчерпывается вся группа G'.
2) f(a-1)= f(a)-1. В самом деле, согласно 1), f(a) ° f(a-1) = f(a* a-l)= f(e) = e' — единица в G', откуда
f (а)-1 = f (a)-1 ° е' = f(a)-1 °(f(a)°f(a-1)) = (f(a)-l ° f(a)) ° f(a-1) = e’ ° f(a-l) = f(a-1).
3) Обратное отображение f-1: G'→G (существующее в силу свойства (ii)) тоже является изоморфизмом.
Надо убедиться лишь в справедливости свойства (i) для f-l. Пусть a', b' ∈ G'. Тогда ввиду биективности f имеем a' = f(a), b' = f(b) для каких-то a, b ∈G. Посколь¬ку f — изоморфизм, a' °b' = f(a) °f(b) = f(a *b). Отсюда имеем a*b = f-1 (а' ° b'), а так как, в свою очередь, а = f-1 (a'), b = f-1 (b'), то f-1 (а' °b') = =f-1(a') * f-1(b').
Докажем теперь две общие теоремы, иллюстрирующие роль изоморфизма в теории групп.

Теорема 3. Все циклические группы одного и того же порядка (в том числе и бесконечного) изоморфны.
Доказательство. В самом деле, если <g>— бесконечная циклическая группа, то все степени gn образующего g различны, и мы получим изоморфизм f : <g>→(Z, +), полагая gn → f (gn) = n. Биективность f очевидна, а свойство f(gmgn)= f(gn) + f(gm) вытекает из теоремы 1.
Пусть теперь G = {е, g, …, gq-1} и G' = {e', g',… , (g')q-1}—две циклические группы порядка q (операции в G и G' не различаем). Определим биек¬тивное отображение
f: gk → (g')k, k=0, 1, …, q-1.
Полагая n + m = lg+r, 0 ≤ r ≤ q-1, для любых n, т = 0, 1, …, q—1 и рассуждая как при доказательстве теоремы 2, будем иметь
f(gn+m)=f(gr)=(g')r=(g')n+m =(g')n(g')m=f(gn)f(gm).
Теорема 4 (Кэли). Любая конечная группа порядка п изоморфна некоторой подгруппе симмет¬рической группы Sn.
Доказательство. Пусть G — наша группа, n = |G|. Можно считать, что Sn — группа всех биективных отображений множества G на себя, так как природа элементов, переставляемых элементами из Sn, несущественна.
Для любого элемента а ∈ G рассмотрим отображение La: G→G, определенное формулой
La (g) = ag.
Если е = g1, g2, … , gn — все элементы группы G, то a, ag2, …, agn будут те же элементы, но расположенные в каком-то другом порядке (вспом¬ним таблицу Кэли!). Это и понятно, поскольку
agi = agj ⇒ a-1(agi) = a-1(agj) ⇒ (a-1a)gi = (a-1a)gj ⇒ gi=gj.
Значит, La — биективное отображение (перестановка), обратным к которому будет L-1a = La)-1. Единичным отображением является, естественно, Le.
Используя вновь ассоциативность умножения в G, получаем Lab (g) = (ab) g= a (bg) = La (Lbg), т. е.
Lab = La°Lb.
Итак, множество Le, Lg2, …, Lgn образует подгруппу, скажем H, в группе S(G) всех биективных отображений множества G на себя, т. е. в Sn. Мы имеем включение Н ⊂ Sn и имеем соответствие L: а—>La ∈H, обладающее по вышесказанному всеми свойствами изоморфизма.
Теорема Кэли, несмотря на свою простоту, имеет важное значение в теории групп. Она выделяет некий универсальный объект (семейство {Sn|п = 1, 2, …} симметрических групп)—вместилище всех вообще конечных групп, рассматриваемых с точностью до изоморфизма. Фраза «с точностью до изоморфизма» отражает сущность не только теории групп, стремящейся объединить в один класс все изоморфные группы, но и математики в целом, которая без таких обобщений была бы лишена смысла.
Положив G'= G в определении изоморфизма, мы получим изоморфное отображение φ : G—>G группы G на себя. Оно называется автоморфизмом группы G. Например, единичное отображение eG: g—>g (далее обозначаемое просто через 1)—автоморфизм, но, как правило, G обладает и нетривиальными автоморфизмами. Свойство 3) изоморфных отображений показывает, что отображение, обратное к автоморфизму, тоже будет автоморфизмом. Если, далее, φ, ψ— автоморфизмы группы G, то (φ°ψ) (ab)=φ(ψ(ab))=φ(ψ(a)ψ(b))=(φ°ψ)(a)•(φ°ψ)(b) для любых а, b ∈ G. Стало быть, множество Aut(G) всех автоморфизмов группы G образует группу — подгруппу группы S(G) всех биективных отображений G→G.

§4. Гомоморфизмы.

В группе автоморфизмов Aut(G) группы G содержится одна особая подгруппа. Она обозначается символом Inn(G) и называется группой внутренних автоморфизмов. Ее элементами являются отображения
Ia : g → aga-1.
Небольшое упражнение показывает, что 1а действительно удовлетворяет всем свойствам, требуемым от автоморфизмов, причем 1а -1= Iа-1, Ie=1—единичный автоморфизм, Ia°Ib = Iab (так как (Ia°Ib)(g) = Ia(Ib(g)) = Ia(bgb-1) = abgb-1a-1= abg(ab)-1 =Iab(g)).
Последнее соотношение показывает, что отобра¬жение
f: G → Inn(G)
группы G на группу Inn(G) ее внутренних автоморфизмов, определенное формулой f(а) = Ia, а ∈ G, обладает свойством (i) изоморфного отображения: f(a) ° f(b) = f(ab). Однако свойство (ii) при этом не обязано выполняться. Если, например, G — абелева группа, то aga-l = g для всех a, g ∈ G, так что 1а = 1е , и вся группа Inn(G) состоит из одного единичного элемента 1е. Это обстоятельство делает естественным следующее общее
Определение. Отображение f: G → G' группы (G, *) в (G', °) называется гомоморфизмом, если
∀a,b∈G f(a*b) = f(a)°f(b)
(другими словами, выполняется только свойство (i) из определения изоморфизма).

Ядром гомоморфизма f называется множество
Кеr f = { g ∈ G | f(g)= e' — единица группы G'}.
Гомоморфное отображение группы в себя называется еще ее эндоморфизмом
В этом определении от f не требуется не только биективности, но и сюръективности (т. е. быть отображением «на»), что, впрочем, не очень существенно, поскольку всегда можно ограничиться рассмотрением образа Im f ⊂ G', являющегося, очевидно, подгруппой в G' . Главное отличие гомоморфизма f от изоморфизма, заключается в наличии— нетривиального ядра Кеr f, являющегося, так сказать, мерой неинъективности f. Если же Кеr f = {e}, то f : G—> Imf — изоморфизм.
Заметим, что
f(a) = e', f(b) = e' ⇒ f( a*b) =f(a)° f(b)= е' ° е'=е'
и
f(a-1) = f(a)-1 = (e')-1= e'.
Поэтому ядро Кеr f— подгруппа в G.

§5. Словарик. Примеры.

Стоит отметить, что термины «сюръективное отображение» (отображение «на»), инъективное (отображение вложения), биективное (взаимно однозначное отображение), применимые к отображениям любых множеств (без операций), в случае групп (и в случае других алгебраических структур) заменяются соответственно терминами эпиморфизм (гомоморфизм «на»), мономорфизм (гомоморфизм с единичным ядром), изоморфизм (взаимно однозначный гомоморфизм—эпиморфизм и мономорфизм одновременно). Имеется тенденция к замене гомоморфизма термином морфизм. Этот словарик полезно иметь в виду при чтении математической литературы, но на первых порах желающие могут обойтись двумя терминами: изоморфизм и гомоморфизм с добавлениями «в» и «на».

start/teoreticheskij_material_gruppy.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)