Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

start:teoreticheskij_material

Теория

§1. Бинарные алгебраические операции

Определение 1.1.

Отношение, при котором каждой упорядоченной паре (a, b) элементов множества М ставится в соответствие единственный элемент с из этого же множества, называется бинарной алгебраической операцией, определяемой на множестве М.

Бинарные алгебраические операции обозначают значком: *, ◦.

Записывают: а ◦ b=c или a * b=c.

Элемент с называют результатом бинарной алгебраической операции или композицией элементов a и b. Кроме бинарных алгебраических операций существуют и нульместные (нульарные), унарные, тернарные,… n-арные операции.

Определение 1.2.

Нульместной алгебраической операцией на множестве М называется выделение (фиксация) какого-нибудь элемента множества.

Определение 1.3.

Если каждому элементу из М соответствует другой (или тот же) элемент из М, то операция называется унарной. Унарную операцию называют также оператором.

Определение 1.4.

Операция, при которой n элементам из множества М соответствует единственный элемент из М, называется n-арной или операцией ранга n.

Примеры бинарных алгебраических операций:

1. На множестве целых чисел сумма и разность любых двух целых чисел есть целое число, поэтому данные операции являются бинарными алгебраическими операциями на множестве целых чисел.

2. На множестве натуральных чисел операции сложения и умножения являются бинарными алгебраическими операциями, поскольку сумма и произведение двух натуральных чисел есть число натуральное.

Алгебраическую операцию можно задать посредством текстового описания закона, по которому из двух данных элементов получается третий. Во-вторых, для небольших конечных множеств операцию можно задать с помощью таблиц Кэли, названных в честь выдающегося математика XIX века. Эти таблицы составляются следующим образом: на пересечении строки а и столбца b ставится значение результата.

Определение 1.5.

Алгебраическая операция  на множестве М называется ассоциативной, если для любых трёх элементов a, b, c, принадлежащих множеству М, выполняется равенство: (a◦ b)◦ c=a◦ (b◦ c).

Определение 1.6.

Алгебраическая операция ◦ на множестве М называется коммутативной, если (∀a, b∈ M) a◦ b=b◦ a.

Пусть задано множество М с двумя бинарными алгебраическими операциями *, ◦.

Определение 1.7.

Алгебраическая операция * называется дистрибутивной относительно операции ◦ , если (∀ a, b, c∈ G) (а ◦ b)*c=(a*с)◦ (b*c) – правая дистрибутивность;

 с* (а ◦ b) =(с*а) ◦ (с*b) – левая дистрибутивность
   

Пример 1.1.

1. Операции сложения и умножения на множестве рациональных чисел Q являются коммутативными и ассоциативными. 2. Операция вычитания на множестве действительных чисел R не является коммутативной, ассоциативной. 3. На множестве целых положительных чисел зададим алгебраическую операцию по правилу: m ◦ n=mn. Данная операция не является коммутативной, т.к., например, при m=3, n=2 имеем 3² ≠2³.

§2. Полугруппы и моноиды.

Определение 1.1. Элемент e∈X называется единичным (или нейтральным) относительно рассматриваемой бинарной операции *, если е*х=х*е = х для всех x∈X. Если е' — еще один единичный элемент, то, как следует из определения, е' = е' * е = е. Стало быть, в алгебраической структуре (X, *) может существовать не более одного единичного элемента.
Множество X с заданной на нем бинарной ассо¬циативной операцией называется полугруппой. Полугруппу с единичным (нейтральным) элементом принято называть еще моноидом (или просто полугруппой с единицей).
Как и для всякого множества, мощность моноида М = (М, *) обозначается символом CardM или |M|. В случае конечности числа содержащихся в нем элементов говорят о конечном моноиде М порядка |М|.
Подмножество S' полугруппы S с операцией * называется подполугруппой, если x*y ∈ S' для всех х, y ∈ S'. В этом случае говорят еще, что подмножество S' ⊂ S замкнуто относительно операции *.
Если (М, *) - моноид, а подмножество М' ⊂ М не только замкнуто относительно операции *, но и содержит единичный элемент, то М' называется подмоноидом в М. Например, (nZ, •) - подполугруппа в (Z, • ), a (nZ, +, 0) - подмоноид в (Z, +, 0).
Всякий подмоноид моноида M(Ω) называется моноидом преобразований (множества Ω).

§3. Обобщенная ассоциативность; степени.

Пусть (Х, • ) - произвольная алгебраическая структура с бинарной операцией •, которую мы ради простоты будем опускать, записывая ху вместо х•у.
Пусть, далее, x1, …, xn - упорядоченная последовательность эле¬ментов из X. Не меняя порядка, мы можем многими разными способами составлять произведения длины n. Пусть ln - число таких способов:
l2 = 1:x1x2
l3 = 2:(х1х2)х3, х1(х2 х3 );
l4 = 5:( (х1х2)х3)х4, (х1(x2х3)) х4, х1( (х2х3)х4),х1(х2(х3х4)),(х1х2)(x3x4); и т. д.
Очевидно, что, перебирая всевозможные произведения x1, …, xk , xk+1 …xn длин k И n – k, 1 ≤ k ≤ n-1, а затем соединяя их нашей бинарной операцией в данном порядке, мы исчерпаем все ln воз¬можностей. Замечательно, что в моноидах (и полугруппах) расстановка скобок оказывается излишней.
Теорема 1. Если бинарная операция на X ассоциативна, то результат ее последовательного приме¬нения к п элементам множества X не зависит от расстановки скобок.

§4. Обратимые элементы.

Элемент а моноида (M, •, е) называется обратимым, если найдется элемент b ∈ М, для которого ab = е = bа (понятно, что элемент b тоже будет обратимым).
Если еще и аb' = е = b'а, то b' = еb' = (bа) b' = b (ab') = be = b.
Это дает нам основание говорить просто об обрат¬ном элементе а-1 к (обратимому) элементу а ∈ М : а-1а = е = аа-1. Разумеется, (а-1)-1 = а.
Понятие обратимого эле¬мента моноида служит, очевидно, естественным об¬общением понятия обратимой матрицы в мультипли¬кативном моноиде (Mn(R), • , E).
Так как (ху) (у-1х-1) = х(уу-1-1 = хех-1=хх-1= е и аналогично (у-1х-1)(ху) = е, то (ху)-1-1х-1.
Стало быть, множество всех обратимых элементов моноида (M,• , е) замкнуто относительно операции и составляет подмоноид в М.

start/teoreticheskij_material.txt · Последние изменения: 2017/03/14 16:07 — Mystic_painter