Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

start:prakticheskie_zadaniya

Практическое занятие №№1-2

Тема: Алгебры. Нейтральные и обратные элементы. Группы

План:

1. Повторение основных теоретических сведений (письменный опрос).

2. Решение задач по теме занятия.

3. Домашнее задание.

                          ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

1. Является ли бинарной алгебраической операцией:

 а) умножение рациональных чисел;
 б) умножение иррациональных чисел;
 в) деление во множестве рациональных чисел;
 г) сложение во множестве четных чисел.
 

2. Какие из арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) является бинарными операциями на множестве М = {1, 0, -1}.

3. Пусть М – множество радиус-векторов, находящихся в I четверти координатной плоскости. Будет ли алгебраической операцией сложение векторов на множестве М?

4. Какие из нижеприведенных бинарных операций коммутативны, а какие ассоциативны:

 а) a ◦ b = а^b на множестве N;
 б) а ◦ b =(a+b)/2 на множестве R;
 в) а ◦ b = с, где c=(а, b) на N.
 

5. Докажите, что на множестве положительных действительных чисел бинарная операция а ◦ b = √ab нахождение среднего геометрического коммутативно, но не ассоциативно.

6. Почему действие, выполняемое по правилу а ◦ в = а²– b² не является бинарной операцией на множестве N и является таковой на множестве Z? Выясните, коммутативна ли указанная операция на Z; покажите также, что она не является ассоциативной на этом множестве.

7. Проверить, является ли операция «◦», заданная правилом а ◦ b = а + b – 2, алгебраической, коммутативной, ассоциативной на множестве положительных действительных чисел? 8. Являются ли действия, выполняемые по формулам:

 а) а ◦ в = (а + b)²
 б) а ◦ в = (a + b)/2 
 в) а ◦ в = (a(a+1)+b(b+1))/2 бинарными операциями на множестве N,Q и если являются, то почему?

9. Является ли алгебраической системой множество чисел вида а + b√5 , где а, b ∈ Z, относительно:

 а) сложения, б) вычитания, в) умножения.
 

10. Является ли множество Z полугруппой относительно: а) сложения, б) вычитания.

11. Обладает ли множество чисел вида а + b√5, где а и b – любые целые числа, нейтральным элементом относительно обычного умножения? Проверьте, имеются ли в данной алгебраической системе обратные элементы для элементов 2 + √5 и 5 – 2√5.

12. Доказать, что во множестве К, содержащем не менее двух элементов, на котором формулой а ◦ b = b задана бинарная операция, не существует нейтрального элемента.

13. Докажите, что относительно бинарной операции а ◦ b = (a+b)/2 множество R не содержит нейтрального элемента. Является ли данная операция обратимой на данном множестве?

14. Является ли множество М = {2^n, n∈N} с операцией умножения группой?

15. Является ли группой множество чисел вида а + b√2 относительно сложения, если а и b – любые рациональные числа.

Домашнее задание.

1. Является ли вычитание бинарной алгебраической операцией на множестве А = {-3, -2, - 1, 0, 1, 2, 3}.

2. Покажите, что на некотором множестве бинарная операция, заданная формулой а ◦ b = b некоммутативна, но ассоциативна.

3. Является ли бинарная алгебраическая операция а ◦ в = m, где m – НОК[а, в] коммутативной, ассоциативной на множестве N?

4. Образуют ли группу четные числа относительно сложения?

5. Является ли множество М = {-1. 0, 1} группой относительно умножения?

6. Докажите, что относительно обычного умножения множество А = {х | х=3k, k∈Z} не содержит нейтрального элемента. Обратима ли операция умножения на множестве А?

Практическое занятие №3 Тема: «Группы. Гомоморфизм и изоморфизм групп»

План:

1. Повторение основных теоретических сведений (письменный опрос).

2. Решение задач по теме занятия.

3. Домашнее задание.

1. Является ли множество квадратных трехчленов вида А = {ах² + bх + с | а, b, с ∈ R} группой относительно сложения.

2. Является ли множество (Z, ◦ ) – группой, если а ◦ b = 2а + 3b.

3. Является ли множество N c операцией заданной по правилу а ◦ b = а полугруппой?

4. На множестве М², где М – некоторое множество, в котором бинарная операция ◦ определена по правилу (х, у) ◦ (z, t) = (х, t). Является ли М² полугруппой относительно этой операции?

5. Выяснить, образуют ли группу целые числа, кратные данному натуральному числу n относительно сложения?

6. Являются ли гомоморфизмами следующие отображения одной группы в другую? а) (R, +) -ф→ (Z, +) φ(а) = [а] б) (R, +) -ф→ (R*, •) φ(а) = 1 в) (R+, •) -ф→ (R, +) φ(а) = log2a г) (R\{0}, •) -ф→ (R+, •) φ(х) =|х|

7. Является ли данное отображение х -ф→ 3х изоморфизмом аддитивной группы действительных чисел на мультипликативную группу положительных действительных чисел (R, +) -ф→ (R+, ∙ ).

8. Является ли множество М целых чисел, кратных трем подгруппой аддитивной группы Z? М = {х | х=3k, k∈ Z}, М ⊂ Z

9. В аддитивной группе R2 доказать, что множество пар вида (а,0) образует подгруппу.

10. Доказать, что множество четных чисел является подгруппой аддитивной группы Z целых чисел. Является ли множество нечетных чисел подгруппой группы Z?

Домашнее задание

1. Является ли множество R полугруппой относительно действия, выполняемого по правилу а ◦ в = а2 + в2 а, в ∈ R.

2. Образуют ли группу положительные числа, если операция определена так: а ◦ в = а2 • в2.

3. Является ли данное отображение гомоморфизмом? а) (N, +) → (R, • ) φ(n) = 1/2n б) (Q, +, •) → (R, +, • ) φ(x/y) = 2х + 3у + √2 в) (R, +, •) → (R, +) φ(n) = ln a

4. Является ли множество целых степеней числа 3 подгруппой мультипликативной группы Q \ {0}.

Практическое занятие № 4

Тема: «Кольцо. Поле. Гомоморфизм, изоморфизм колец и полей»

План:

1. Повторение основных теоретических сведений (письменный опрос).

2. Решение задач по теме занятия.

3. Домашнее задание.

Задания и упражнения

1. На множестве R действительных чисел с обычной операцией сложения, определим операцию умножения условием: а ⊗ в = в. Показать, что множество R не будет кольцом относительно данных операций.

2. Можно ли некоторое кольцо с единицей гомоморфно отобразить на некоторое кольцо без единицы?

3. Является ли подкольцом кольца Z относительно обычных действий множество четных чисел.

4. Докажите, что алгебраическая система – множество Q рациональных чисел с обычной операцией сложения и операцией ◦, выполняемой по правилу а ◦ в = для а, в Q – является полем. Каков единичный элемент этого поля?

5. Кольцом или полем является множество комплексных чисел вида а + вi, где а, в Z?

6. Докажите, что множество М матриц вида , где а и в – любые действительные числа, является полем относительно матричного сложения и умножения.

7. Будет ли множество чисел вида r1 + r2 , где r1, r2 – рациональные числа подполем поля действительных чисел?

8. Покажите, что множество чисел вида а + в +с +d , где а, в, с, d Z является числовым кольцом, т.е. кольцом относительно обычных операций сложения и умножения над числами.

9. Докажите, что множество Z[ ] чисел вида а + в , где а и в – любые целые числа, является числовым кольцом. Разрешимы ли в этом кольце уравнения (1 + 2 ) • х = -8 + 3 , (-8 + 3 ) • х =1 + 2 , (3 + 2 ) • х = 2 - 3 ? Будет ли Z[ ] числовым полем?

10. Справедливы ли формулы сокращенного умножения для элементов некоммутативных колец?

11. Выясните, является ли система < Z, ⊕, • > кольцом относительно обычного умножения и операции ⊕, выполняемой по правилу:

	  а + в, если а – четное число, в – любое целое число
а ⊕ в = {
          а – в, если а – нечетное число, в – любое целое число

Домашнее задание

1. На множестве М = {а, в} сложение ⊕ и умножение ⊗ определены следующим образом: а ⊕ а = а, а ⊕ в = в ⊕ а = в, в ⊕ в = а а ⊗ а = а, а ⊗ в = в ⊗ а = а, в ⊗ в = в Выясните, обладает ли это множество нулем и единицей и является ли система (М, ⊕, ⊗) полем относительно заданных бинарных операций.

2. Является ли множество М матриц вида , где а, в R коммутативным кольцом относительно матричного сложения и умножения? Имеется ли в данном множестве делители нуля. Если да, то какие?

3. Пусть множество А состоит из чисел А = {0, 1} и пусть операция сложения на А определяется правилом:

             	0, если а = в

а + в =

	  	1, если а ≠ в,       

а умножение обычным образом. Доказать, что множество А является полем.

4. Докажите, что множество А чисел вида 2а + 2в√3 , где а, в – любые целые числа, является числовым кольцом.

Практическое занятие №5

Тема: Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа

План:

1. Повторение основных теоретических сведений.

2. Решение задач по теме занятия.

3. Домашнее задание

Контрольные вопросы

1. Дано, что произведение сопряженных комплексных чисел равно единице, т.е. ž • z = 1. Укажите верные утверждения.

1) z – всегда действительное число.

2) |ž| = |z|.

3) Всегда |z| = 1.

4) Всегда |ž| ≠ 1.

5) Действительная часть z всегда равна нулю.

2. Дано, что отношение сопряженных комплексных чисел равно единице, т.е. ž / z = 1. Укажите верные утверждения.

1) ž – всегда действительное число.

2) Действительная часть z всегда равна нулю.

3) Равенство возможно только при условии, что |z| = 1.

4) Равенство возможно только при условии, что |ž| ≠ 1.

5) В этом случае ž – z ∈ R.

3. Известно, что точки координатной плоскости изображают комплексные числа. Укажите верные предложения.

1) Точки оси Ох изображают все комплексные числа, аргумент которых равен π.

2) Точки положительной части оси Оу изображают все комплексные числа, аргумент которых равен π/2.

3) Точки отрицательной части оси Оу изображают все комплексные числа, аргумент которых равен 3π/2.

4) Точки, симметричные относительно оси Ох, изображают сопряженные комплексные числа.

5) Точки, симметричные относительно оси Оу, изображают сопряженные комплексные числа.

Задания и упражнения

1. Записать числа в алгебраической форме

а) (3; -4)		б) (-5; 2)	в) (-1/3; - 1/7)		г) (0; -2)	д) (-7; 0)	е) (0; 0)  

2. Вычислите:

а) (1+3i)(8-i)/(2+i)  		б)  (5+i)(7-6i)/(3+i)	в) (i-3)(1-4i)/(i-2) 	г) (2 + i)<sup>3</sup> + (2 – i)<sup>3</sup>

3. Найдите х, у ∈ R, удовлетворяющие уравнениям:

а) (2 + i)x + (1 + 2i)у = 1 – 4i		б) (3 + 2i)х + (1 + 3i)у = 4 - 9i 

4. Доказать равенства

а) (1 + i)<sup>8n</sup> = 2<sup>4n</sup> (n ∈ Z)			 б) (1 + i)<sup>4n</sup> = (-1)<sup>n</sup> • 2<sup>2n</sup>  (n ∈ Z)

5. Найти все комплексные числа, каждое из которых сопряжено со своим квадратом.

6. Решить систему уравнений:

        (1 + i)z1 + (1 – i)z2 = 1 + i
    (1 - i)z1 + (1 + i)z2 = 1 + 3i

7. Найти в поле С все значения √(-3-4i).

8. Вычислить √(8+6i).

9. Решить уравнение: а) ž = -z; б) ž = z; в) ž = -4z.

10. Определить, какое множество точек комплексной плоскости задается условием:

  а)   |z – 2 - i| ≤ 3	     б)  |z  - i| ≤ 1	в)   |z  - 1| ≥ 3       г)     π/4 < arg z < π
       |z – 1 + i| ≥ 2		 |z  + i| ≤ 1	     arg z = π/4               |1 - 2i - z | = 2    

Домашнее задание

1. Найдите х, у, считая их вещественными:

а) х – 8i + (у – 3)i = 1		б) (5x+2xi-3y-3yi)/(3+4i)=2	в) (6x-yi)/(5+2i)=15/(8x+3yi) 

2. Вычислите:

а)  (1 + i)(2 + i) + 5/(1+2i) 	        б) (3-4i)(2-i)/(3+4i)-(3+4i)(2+i)/(2-i)
в) i<sup>17</sup> – 5i<sup>14</sup> + 10i<sup>7</sup> + 9i<sup>5</sup> - 4

3. Найдите все значения квадратного корня √(5+15i).

4. Определить, какое множество точек комплексной плоскости задается условием

а) |z - i| ≤ 2 б) |z - 1| = |z + 2i|

   |z – 2 – i| = 1

Практическое занятие № 7 Тема: Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

План:

1. Повторение основных теоретических сведений.

2. Решение задач по теме занятия.

3. Домашнее задание

										    1
									0       /4
						         
						                                      -1

Контрольные вопросы

1. Укажите верные утверждения.

1) - тригонометрическая форма комплексного числа 1 – i.

2) Аргумент комплексного числа равен /4.

3) Геометрическая интерпретация комплексного числа дана на рис.1.

4) Аргумент комплексного числа равен 7/4.

5) Комплексные числа и имеют одинаковый аргумент.

2. Дано, что отношение двух комплексных чисел равно i, т.е. . Укажите верные утверждения.

1) Аргументы чисел z1 и z2 отличаются на .

2) Аргументы чисел z1 и z2 отличаются на /2.

3) Аргументы чисел z1 и z2 равны.

4) z1 = z2.

5) Если z1 и z2 – сопряженные числа, то arg z1 = /4.

Задания и упражнения

1. Представить в тригонометрической форме: а) -3 – 3i; б) –1 + i в) –11 г) 5 д) е) cos - i sin ж) cos + i sin(-) з) sin + i cos

2. Вычислить в тригонометрической форме: а) б) в) г)

3. Найти все значения .

4. Записать число в тригонометрической форме .

Домашнее задание

1. Представить в тригонометрической форме следующие комплексные числа: а) –2i; б) 1 – i; в) ; г) z = 2 cos - 2i sin ; д) z = - cos + i sin .

2. Вычислить .

3. Представить в алгебраической форме .

start/prakticheskie_zadaniya.txt · Последние изменения: 2015/11/13 18:57 — admin