Инструменты пользователя

Инструменты сайта


others:vektornye_prostranstva_i_linejnye_operatory

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

others:vektornye_prostranstva_i_linejnye_operatory [2014/11/27 09:07] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +====== Векторные пространства и линейные операторы ======
 +Множество //V// называется **векторным пространством** (над полем действительных чисел //R//), если его элементы можно складывать между собой и умножать на действительные числа, причём эти операции обладают следующими свойствами (которые называются аксиомами векторного пространства):​\\
 +  *сложение коммутативно:​ //u + v = v + u// для любых //u, v ∈ V//;
 +  *сложение ассоциативно:​ //u + (v + w) = (u + v) + w// для любых //u, v// и //w ∈ V//;
 +  *в //V// существует нулевой элемент //0// (или нуль): //0 + u = u + 0 = u// для любого //u ∈ V//;
 +  *для каждого //u ∈ V// существует противоположный ему элемент //−u//: //u + (−u) = (−u) + u = 0//;
 +  *умножение ассоциативно:​ //λ(µu) = (λµ)u// для любых чисел //λ, µ ∈ R// и элемента //u ∈ V//;
 +  *умножение дистрибутивно относительно сложения:​ //λ(u + v) = λu + λv// для любого числа //λ ∈ R// и элементов //u, v ∈ V//;
 +  *умножение на единицу тождественно:​ //1 · u = u// для любого элемента //u ∈ V//.\\
 +Элементы векторного пространства называются //​векторами//​.\\
 +**Пример**. Само множество //R// действительных чисел является векторным пространством. Множество,​ состоящее из единственного элемента — нуля, также является векторным пространством. Оно обозначается через 0 и называется //​тривиальным//​.\\
  
 +Подмножество //V′// ⊂ //V// векторного пространства //V// называется **подпространством**,​ если\\
 +  *//u + v ∈ V′// для любых //u, v ∈ V′//;
 +  *//λu ∈ V′// для любого числа //λ ∈ R// и вектора //u ∈ V'//, то есть если //V′// замкнуто относительно сложения и умножения на числа.\\
 +Всякое подпространство векторного пространства само является векторным пространством.\\
 +
 +Отображение //A: V → W// двух векторных пространств //V// и //W// называется **линейным оператором** (действующим из //V// в //W//), если\\
 +  *//A(u + v) = A(u) + A(v)// для любых векторов //u, v ∈ V//;
 +  *//A(λu) = λA(u)// для любого числа //λ ∈ R// и вектора //u ∈ V//.\\
 +**Пример**. Пусть //λ ∈ R//. Тогда отображение //​A<​sub>​λ</​sub>​ : V → V// , действующее по правилу\\
 +//​A<​sub>​λ</​sub>​(v) = λv//, //v ∈ V//\\
 +является линейным оператором,​ который называется //​оператором умножения//​ на число λ.\\
 +
 +Пусть //U, V// и //W// — векторные пространства,​ а //A: U → V// , //B : V → W// —линейные операторы. Отображение //B◦A: U → W//, действующее по правилу //​(B◦A)(u) = B(A(u))//,​\\
 +//(B ◦ A)(u) = B(A(u)), u ∈ U//,\\
 +называется //​композицией//​ (или произведением) операторов //A// и //B//.\\
 +Композиция линейных операторов является линейным оператором.\\
 +
 +Пусть //A, B : V → W// — линейные операторы. Отображение //A + B : V → W//, действующее по правилу\\
 +//(A + B)(v) = A(v) + B(v), v ∈ V,//
 +называется //​суммой//​ операторов //A// и //B//. Если //λ// — число, то отображение\\
 +//(λA)(v) = λA(v), v ∈ V//,\\
 +называется //​произведение//​ оператора на число.\\
 +
 +Если //A// и //B// — линейные операторы,​ а //λ// — действительное число, то //A + B//и //λA// — также линейные операторы.\\
 +
 +Пусть //A: V → V// — линейный оператор. Число //λ ∈ R// называется //​собственным значением//​ этого оператора,​ если существует такой вектор v ≠ 0, что\\
 +//A(v) = λv//.\\
 +При этом //v// называется //​собственным вектором//,​ отвечающим собственному значению //λ//.\\
 +Множество собственных векторов,​ отвечающих некоторому //λ//, образует линейное подпространство в //V//.\\
 +Это подпространство называется //​собственным подпространством//​ и, как правило,​ обозначается через //​V<​sub>​λ</​sub>//​.
 +
 +__//​Литература//​__\\
 +Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия» - 1995.\\
 +Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. изд. МЦНМО, 1998.\\
others/vektornye_prostranstva_i_linejnye_operatory.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:07 (внешнее изменение)