Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

others:vektornye_prostranstva_i_linejnye_operatory

Векторные пространства и линейные операторы

Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между собой и умножать на действительные числа, причём эти операции обладают следующими свойствами (которые называются аксиомами векторного пространства):

  • сложение коммутативно: u + v = v + u для любых u, v ∈ V;
  • сложение ассоциативно: u + (v + w) = (u + v) + w для любых u, v и w ∈ V;
  • в V существует нулевой элемент 0 (или нуль): 0 + u = u + 0 = u для любого u ∈ V;
  • для каждого u ∈ V существует противоположный ему элемент −u: u + (−u) = (−u) + u = 0;
  • умножение ассоциативно: λ(µu) = (λµ)u для любых чисел λ, µ ∈ R и элемента u ∈ V;
  • умножение дистрибутивно относительно сложения: λ(u + v) = λu + λv для любого числа λ ∈ R и элементов u, v ∈ V;
  • умножение на единицу тождественно: 1 · u = u для любого элемента u ∈ V.

Элементы векторного пространства называются векторами.
Пример. Само множество R действительных чисел является векторным пространством. Множество, состоящее из единственного элемента — нуля, также является векторным пространством. Оно обозначается через 0 и называется тривиальным.

Подмножество V′V векторного пространства V называется подпространством, если

  • u + v ∈ V′ для любых u, v ∈ V′;
  • λu ∈ V′ для любого числа λ ∈ R и вектора u ∈ V', то есть если V′ замкнуто относительно сложения и умножения на числа.

Всякое подпространство векторного пространства само является векторным пространством.

Отображение A: V → W двух векторных пространств V и W называется линейным оператором (действующим из V в W), если

  • A(u + v) = A(u) + A(v) для любых векторов u, v ∈ V;
  • A(λu) = λA(u) для любого числа λ ∈ R и вектора u ∈ V.

Пример. Пусть λ ∈ R. Тогда отображение Aλ : V → V , действующее по правилу
Aλ(v) = λv, v ∈ V
является линейным оператором, который называется оператором умножения на число λ.

Пусть U, V и W — векторные пространства, а A: U → V , B : V → W —линейные операторы. Отображение B◦A: U → W, действующее по правилу (B◦A)(u) = B(A(u)),
(B ◦ A)(u) = B(A(u)), u ∈ U,
называется композицией (или произведением) операторов A и B.
Композиция линейных операторов является линейным оператором.

Пусть A, B : V → W — линейные операторы. Отображение A + B : V → W, действующее по правилу
(A + B)(v) = A(v) + B(v), v ∈ V, называется суммой операторов A и B. Если λ — число, то отображение
(λA)(v) = λA(v), v ∈ V,
называется произведение оператора на число.

Если A и B — линейные операторы, а λ — действительное число, то A + Bи λA — также линейные операторы.

Пусть A: V → V — линейный оператор. Число λ ∈ R называется собственным значением этого оператора, если существует такой вектор v ≠ 0, что
A(v) = λv.
При этом v называется собственным вектором, отвечающим собственному значению λ.
Множество собственных векторов, отвечающих некоторому λ, образует линейное подпространство в V.
Это подпространство называется собственным подпространством и, как правило, обозначается через Vλ.

Литература
Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия» - 1995.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. изд. МЦНМО, 1998.

others/vektornye_prostranstva_i_linejnye_operatory.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:07 (внешнее изменение)