Инструменты пользователя

Инструменты сайта


others:uporyadochennie_strukturi_v_shkolnom_kurse_matematiki

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Both sides previous revision Предыдущая версия
others:uporyadochennie_strukturi_v_shkolnom_kurse_matematiki [2018/10/18 16:36]
Кузнецова Ирина Викторовна удалено
others:uporyadochennie_strukturi_v_shkolnom_kurse_matematiki [2018/10/18 16:41] (текущий)
Кузнецова Ирина Викторовна создано
Строка 1: Строка 1:
-**Упорядоченные структуры в школьном курсе математике** +**Упорядоченные структуры в школьном курсе математики**
-Упорядочные множества встечаются в школьных учебниках по математике,​ например:​ в учебнике алгебра 7 класс встречается пример упорядоченного множества - кольцо целых чисел Z. +
- +
-В школьном курсе математики учащимися рассматривается понятие множества,​ как неопределяемое понятие,​ под которым понимается совокупность объектов окружающей нас действительности,​ мыслимую как единое целое. А каждый объект этой совокупности называют элементом данного множества. +
- +
-Существуют стандартные обозначения для некоторых множеств. Например,​  +
- +
-Z− множество целых чисел;  +
- +
-Q− множество рациональных чисел;  +
- +
-I− множество иррациональных чисел;  +
- +
-R− множество действительных чисел;  +
- +
-C− множество комплексных чисел. +
- +
-Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут: a ∈ A. +
- +
-Множество считается заданным,​ если для любого объекта можно определить,​ принадлежит ли этот объект множеству или нет. +
- +
-Множество,​ не содержащее ни одного элемента,​ называется пустым множеством и обозначается ∅.  Если A есть пустое множество,​ то пишут: A = ∅ +
- +
-Если любой элемент множества A является элементом другого множества B, то говорят,​ что A есть подмножество множества B, и пишут: A ⊂ B. +
- +
-Например,​ множество всех натуральных чисел ​ является подмножеством всех действительных чисел R:N⊂R. +
-Из определения непосредственно следует,​ что A ⊂ A, то есть всякое множество является подмножеством самого себя. +
- +
-Если A⊂B, а B⊂A, то пишут A = B и говорят,​ что множества A и B равны. +
- +
-В математике часто приходится иметь дело с числовыми множествами. Приведём определения и обозначения множеств,​ которые имеют общее название числовых промежутков. +
- +
-{{:​others:​wy8mwdufkps.jpg?​200|}} +
- +
- +
-**Различают два способа задания множеств.** +
- +
-1. Множество можно задать с помощью перечисления элементов. +
- +
-Например,​ если множество А состоит из элементов а, b, с, то пишут: А = {a, b, c}. +
-Не каждое множество можно задать с помощью перечисления элементов. Множества,​ все элементы которых можно перечислить называют конечными. Множества,​ все элементы которых нельзя перечислить называют бесконечными. Их нельзя задать с помощью перечисления элементов. Исключение составляют бесконечные множества,​ в которых ясен порядок образование каждого следующего элемента на основе предыдущего. Например,​ множество натуральных чисел – бесконечное множество. Но известно,​ что в нем каждое следующее число, начиная со второго,​ на 1 больше предыдущего. Поэтому можно задать так N = {1, 2, 3, 4, …}. +
- +
-2.Множество можно задать с помощью указания характеристического свойства. +
- +
-Характеристическим свойством данного множества называется свойство,​ которым обладают все элементы этого множества и не обладают ни один, не принадлежащий ему элемент. Обозначается:​ А = {x|…}, где после вертикальной черты записывается характеристическое свойство элементов данного множества. +
- +
-Например,​ В={1,2,3}. Нетрудно заметить,​ что каждый элемент множества В – натуральное число, меньшее 4. Именно это свойство элементов множества В является для него характеристическим. В этом случае пишут: {{:​others:​2.1_1.jpg?​200|}} и читают:​ «Множество В состоит из таких элементов х, что х принадлежит множеству натуральных чисел и х меньше четырех» или множество В состоит из натуральных чисел, меньших 4. Множество В можно задать и по – другому: ​ или {{:​others:​2.2.jpg?​200|}} ​ ,​{{:​others:​2.3.jpg?​200|}} и т.д. +
- +
-При этом, если элемент не подчиняется характеристическому свойству множества,​ то он данному множеству и не принадлежит. Существуют множества,​ которые можно задать только с помощью указания характеристического свойства,​ например,​{{:​others:​2.4.jpg?​200|}} . +
- +
-Особую важность в школьном курсе математике имеют числовые множества,​ т.е. множества,​ элементами которого являются числа [2]. Для названия числовых множеств в математике приняты специальные обозначения:​ +
- +
-N = {1, 2, 3, 4, …} – множество натуральных чисел;​ +
- +
-Z = {…,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} – множество целых чисел (содержит все натуральные числа и числа, им противоположные);​ +
- +
-Q = {x | x=p/q, где p∈Z, q∈N} – множество рациональных чисел (состоит из чисел, допускающих представление в виде обыкновенной дроби);​ +
- +
-J – множество иррациональных чисел (множество,​ состоящее из бесконечных десятичных непериодических дробей) +
- +
-R = (-∞; +∞) – множество действительных чисел. +
- +
-Множество всех действительных чисел Л. Эйлер изобразил с помощью кругов. (Рис. 1) +
-{{:​others:​gveyaxgu-m0.jpg?​200|}} +
- +
-**Операции и свойства операций над множествами**. +
- +
-Опр.1.Пересечением множеств А и В называется операция,​ результатом которой является множество,​ состоящее из тех и только тех элементов,​ которые принадлежат и А и В одновременно.  +
-                              A∩B={x|x∈A∧x∈B} ​                                             +
-Опр.2. Объединением множеств А и В называется операция,​ результатом которой является множество,​ состоящее из тех и только тех элементов,​ которые принадлежат множеству А или множеству В (т.е. хотя бы одному из этих множеств). +
-                               ​A∪B={x|x∈A∨x∈B} ​                                          +
-Опр.3. Разностью множеств А и В называется операция,​ результатом которой является множество,​ состоящее из тех и только тех элементов,​ которые принадлежат А и не принадлежат В одновременно. +
-                                  А\ В ={x∈A∧x∉B} ​                                            +
-Опр.4. Дополнением множества А до универсального множества называется множество,​ каждый элемент которого принадлежит универсальному и не принадлежит А. +
- +
-**Выражения с множествами** +
-Из множеств,​ знаков операций над ними и, может быть, скобок можно составлять выражения. Например,​ А∩В\С. +
-Необходимо знать порядок выполнения операций в таких выражениях и уметь их читать. +
- +
-**Порядок выполнения операций**. +
- +
-  - если нет скобок,​ то в первую очередь выполняется дополнение до универсального множества простого множества,​ затем пересечение и объединение (они равноправны между собой),​ в последнюю очередь - разность;​ +
-  - если в выражении есть скобки,​ то сначала выполняют операции в скобках по порядку,​ приведенному в пункте 1), а затем все операции за скобками. +
-Например,​ а) А∩В\С; б) А∩(В\С);​ в) А∩(В\С)'​ . +
- +
-Чтение выражения начинается с результата последней операции. Например,​ выражение а) читается так: разность двух множеств,​ первое из которых пересечение множеств А и В, а второе - множество С. +
- +
-**Круги Эйлера**. +
-Операции над множествами и отношения между ними можно изобразить с помощью кругов Эйлера. Это специальные чертежи,​ на которых обычные множества изображаются кругами,​ универсальное множество - прямоугольником +
-  +
-{{:​others:​2.8.jpg?​300|}} +
- +
- +
- +
-~~DISCUSSION~~ +
-**Разбиение множества на классы**. +
- +
-Считают,​ что множество Х разбито на попарно непересекающиеся подмножества или классы,​ если выполнены следующие условия:​ +
-1) пересечение любых двух подмножеств пусто;​ +
-2) объединение всех подмножеств совпадает с множеством Х. +
-Разбиение множества на классы называют классификацией. +
- +
-** Декартово произведение множеств**. +
- +
-Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента каждой из которых принадлежит множеству А, а вторая — множеству В Декартово произведение множеств А и В обозначают ​ А х В. Таким образом,​ А×В={(x,​y)|x∈A˄y∈B}. Операцию нахождения декартова произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств. ​ Если А и В — числовые множества,​ то элементами декартова произведения этих множеств будут упорядоченные пары чисел. +
- +
-**Правила суммы и произведения** +
- +
-Обозначим число элементов конечного множества A символом n(A). Если множества А и В не пересекаются,​ то n(AUВ)= n(А) +n (В). Если множества А и В пересекаются,​ то n(А U В) = n (A) + n (В) — n (A ∩ В). +
-Число элементов декартова произведения множеств A и В подсчитывается по формуле n (А X В) = n (A) • n (В). +
-Правило подсчета числа элементов объединения непересекающихся конечных множеств в комбинаторике носит название прави­ла суммы, если элемент х можно выбрать k способами,​ а элемент у — m способами,​ причем ни один из способов выбора элемента х не совпадает со способом выбора элемента у, то выбор «х или у» можно осуществить k + m способами. +
-Правило подсчета числа элементов декартова произведения конечных множеств в комбинаторике носит название правила произведения:​ если элемент х можно выбрать k способами,​ а элемент y - m способами,​ то пару (х,y) можно выбрать km способами. +
- +
-**Преподавателю математики важно знать ​ о упорядоченных структурах**:​во-первых,​ исходные порядковые понятия,​ включая точные грани, виды упорядоченных множеств,​ решетки,​ булевы алгебры,​ упорядоченные группы,​ кольца и поля. Во-вторых,​ модельные примеры:​ цепь действительных чисел с обычным порядком,​ булеаны,​ решетка натуральных чисел с отношением делимости. Эти примеры хорошо иллюстрируют обобщающий характер порядкового подхода. Полезно дать представление конечных упорядоченных множеств диаграммами Хассе, что особенно важно в дискретной математике. Надо знать, что алгебры высказываний,​ множеств и событий являются булевыми алгебрами,​ а множество всех действительнозначных функций на произвольном множестве образует дистрибутивную решетку с поточечно определенным отношением порядка. В-третьих,​ определенный минимум фактов:​ простейшие свойства различных упорядоченных структур,​ принцип двойственности,​ эквивалентность порядкового и алгебраического понятий решетки,​ теорема Стоуна о строении конечных булевых алгебр,​ теорема Тарского 166о неподвижной точке, лемма Кенига,​ формулировки леммы Цорна и  +
-теорем Цермело и Гельдера,​ порядковые свойства основных числовых систем.+
others/uporyadochennie_strukturi_v_shkolnom_kurse_matematiki.txt · Последние изменения: 2018/10/18 16:41 — Кузнецова Ирина Викторовна