Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

others:uporyadochennie_strukturi_v_shkolnom_kurse_matematiki

Упорядоченные структуры в школьном курсе математике Упорядочные множества встечаются в школьных учебниках по математике, например: в учебнике алгебра 7 класс встречается пример упорядоченного множества - кольцо целых чисел Z.

В школьном курсе математики учащимися рассматривается понятие множества, как неопределяемое понятие, под которым понимается совокупность объектов окружающей нас действительности, мыслимую как единое целое. А каждый объект этой совокупности называют элементом данного множества.

Существуют стандартные обозначения для некоторых множеств. Например,

Z− множество целых чисел;

Q− множество рациональных чисел;

I− множество иррациональных чисел;

R− множество действительных чисел;

C− множество комплексных чисел.

Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут: a ∈ A.

Множество считается заданным, если для любого объекта можно определить, принадлежит ли этот объект множеству или нет.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается ∅. Если A есть пустое множество, то пишут: A = ∅

Если любой элемент множества A является элементом другого множества B, то говорят, что A есть подмножество множества B, и пишут: A ⊂ B.

Например, множество всех натуральных чисел является подмножеством всех действительных чисел R:N⊂R. Из определения непосредственно следует, что A ⊂ A, то есть всякое множество является подмножеством самого себя.

Если A⊂B, а B⊂A, то пишут A = B и говорят, что множества A и B равны.

В математике часто приходится иметь дело с числовыми множествами. Приведём определения и обозначения множеств, которые имеют общее название числовых промежутков.

Различают два способа задания множеств.

1. Множество можно задать с помощью перечисления элементов.

Например, если множество А состоит из элементов а, b, с, то пишут: А = {a, b, c}. Не каждое множество можно задать с помощью перечисления элементов. Множества, все элементы которых можно перечислить называют конечными. Множества, все элементы которых нельзя перечислить называют бесконечными. Их нельзя задать с помощью перечисления элементов. Исключение составляют бесконечные множества, в которых ясен порядок образование каждого следующего элемента на основе предыдущего. Например, множество натуральных чисел – бесконечное множество. Но известно, что в нем каждое следующее число, начиная со второго, на 1 больше предыдущего. Поэтому можно задать так N = {1, 2, 3, 4, …}.

2.Множество можно задать с помощью указания характеристического свойства.

Характеристическим свойством данного множества называется свойство, которым обладают все элементы этого множества и не обладают ни один, не принадлежащий ему элемент. Обозначается: А = {x|…}, где после вертикальной черты записывается характеристическое свойство элементов данного множества.

Например, В={1,2,3}. Нетрудно заметить, что каждый элемент множества В – натуральное число, меньшее 4. Именно это свойство элементов множества В является для него характеристическим. В этом случае пишут: и читают: «Множество В состоит из таких элементов х, что х принадлежит множеству натуральных чисел и х меньше четырех» или множество В состоит из натуральных чисел, меньших 4. Множество В можно задать и по – другому: или , и т.д.

При этом, если элемент не подчиняется характеристическому свойству множества, то он данному множеству и не принадлежит. Существуют множества, которые можно задать только с помощью указания характеристического свойства, например, .

Особую важность в школьном курсе математике имеют числовые множества, т.е. множества, элементами которого являются числа [2]. Для названия числовых множеств в математике приняты специальные обозначения:

N = {1, 2, 3, 4, …} – множество натуральных чисел;

Z = {…,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} – множество целых чисел (содержит все натуральные числа и числа, им противоположные);

Q = {x | x=p/q, где p∈Z, q∈N} – множество рациональных чисел (состоит из чисел, допускающих представление в виде обыкновенной дроби);

J – множество иррациональных чисел (множество, состоящее из бесконечных десятичных непериодических дробей)

R = (-∞; +∞) – множество действительных чисел.

Множество всех действительных чисел Л. Эйлер изобразил с помощью кругов. (Рис. 1)

Операции и свойства операций над множествами.

Опр.1.Пересечением множеств А и В называется операция, результатом которой является множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и А и В одновременно.

                            A∩B={x|x∈A∧x∈B}                                             

Опр.2. Объединением множеств А и В называется операция, результатом которой является множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В (т.е. хотя бы одному из этих множеств).

                             A∪B={x|x∈A∨x∈B}                                          

Опр.3. Разностью множеств А и В называется операция, результатом которой является множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат А и не принадлежат В одновременно.

                                А\ В ={x∈A∧x∉B}                                            

Опр.4. Дополнением множества А до универсального множества называется множество, каждый элемент которого принадлежит универсальному и не принадлежит А.

Выражения с множествами Из множеств, знаков операций над ними и, может быть, скобок можно составлять выражения. Например, А∩В\С. Необходимо знать порядок выполнения операций в таких выражениях и уметь их читать.

Порядок выполнения операций.

  1. если нет скобок, то в первую очередь выполняется дополнение до универсального множества простого множества, затем пересечение и объединение (они равноправны между собой), в последнюю очередь - разность;
  2. если в выражении есть скобки, то сначала выполняют операции в скобках по порядку, приведенному в пункте 1), а затем все операции за скобками.

Например, а) А∩В\С; б) А∩(В\С); в) А∩(В\С)' .

Чтение выражения начинается с результата последней операции. Например, выражение а) читается так: разность двух множеств, первое из которых пересечение множеств А и В, а второе - множество С.

Круги Эйлера. Операции над множествами и отношения между ними можно изобразить с помощью кругов Эйлера. Это специальные чертежи, на которых обычные множества изображаются кругами, универсальное множество - прямоугольником

~~DISCUSSION~~ Разбиение множества на классы.

Считают, что множество Х разбито на попарно непересекающиеся подмножества или классы, если выполнены следующие условия: 1) пересечение любых двух подмножеств пусто; 2) объединение всех подмножеств совпадает с множеством Х. Разбиение множества на классы называют классификацией.

Декартово произведение множеств.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента каждой из которых принадлежит множеству А, а вторая — множеству В Декартово произведение множеств А и В обозначают А х В. Таким образом, А×В={(x,y)|x∈A˄y∈B}. Операцию нахождения декартова произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств. Если А и В — числовые множества, то элементами декартова произведения этих множеств будут упорядоченные пары чисел.

Правила суммы и произведения

Обозначим число элементов конечного множества A символом n(A). Если множества А и В не пересекаются, то n(AUВ)= n(А) +n (В). Если множества А и В пересекаются, то n(А U В) = n (A) + n (В) — n (A ∩ В). Число элементов декартова произведения множеств A и В подсчитывается по формуле n (А X В) = n (A) • n (В). Правило подсчета числа элементов объединения непересекающихся конечных множеств в комбинаторике носит название прави­ла суммы, если элемент х можно выбрать k способами, а элемент у — m способами, причем ни один из способов выбора элемента х не совпадает со способом выбора элемента у, то выбор «х или у» можно осуществить k + m способами. Правило подсчета числа элементов декартова произведения конечных множеств в комбинаторике носит название правила произведения: если элемент х можно выбрать k способами, а элемент y - m способами, то пару (х,y) можно выбрать km способами.

Преподавателю математики важно знать о упорядоченных структурах:во-первых, исходные порядковые понятия, включая точные грани, виды упорядоченных множеств, решетки, булевы алгебры, упорядоченные группы, кольца и поля. Во-вторых, модельные примеры: цепь действительных чисел с обычным порядком, булеаны, решетка натуральных чисел с отношением делимости. Эти примеры хорошо иллюстрируют обобщающий характер порядкового подхода. Полезно дать представление конечных упорядоченных множеств диаграммами Хассе, что особенно важно в дискретной математике. Надо знать, что алгебры высказываний, множеств и событий являются булевыми алгебрами, а множество всех действительнозначных функций на произвольном множестве образует дистрибутивную решетку с поточечно определенным отношением порядка. В-третьих, определенный минимум фактов: простейшие свойства различных упорядоченных структур, принцип двойственности, эквивалентность порядкового и алгебраического понятий решетки, теорема Стоуна о строении конечных булевых алгебр, теорема Тарского 166о неподвижной точке, лемма Кенига, формулировки леммы Цорна и теорем Цермело и Гельдера, порядковые свойства основных числовых систем.

others/uporyadochennie_strukturi_v_shkolnom_kurse_matematiki.txt · Последние изменения: 2016/01/18 14:45 — яна_холкина