Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

others:primenenie_teorii_grupp_k_izucheniju_zakonomernostej_simmetrii

БАЗОВЫЙ ВОПРОС ПРОЕКТА Каким образом используется теория групп к изучению и развитию закономерностей симметрии ?

ПРОБЛЕМНЫЕ ВОПРОСЫ УЧЕБНОГО ПРОЕКТА

  • Каковы основные этапы истории развития учения о симметрии ?
  • Какова роль симметрии в развитии естественнонаучной картины мира,современного дизайна и законов искусства ?

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

  • Что такое симметрия ?
  • Что называется группой симметрии фигуры Ф ?
  • Какие группы симметрии, наиболее значимые в природе и искусстве, известны ?
  • В чем суть теоремы Леонардо да Винчи ?
  • Что известно о Федоровских группах симметрии ?

История развития Теории Групп

У теории групп три исторических корня: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия. Математики, стоящие у истоков теории групп, — это Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа. Галуа был первым математиком, связавшим теорию групп с другой ветвью абстрактной алгебры — теорией полей, разработав теорию, ныне называемую теорией Галуа.

Одной из первых задач, приведших к возникновению теории групп, была задача получения уравнения степени m, которое имело бы корнями m корней данного уравнения степени n (m < n). Эту задачу в простых случаях рассмотрел Худде (1659 г.). В 1740 г. Сондерсон заметил, что нахождение квадратичных множителей биквадратных выражений сводится к решению уравнения 6 степени, а Ле Сёр (1748 г.) и Вейринг (с 1762 по 1782 гг.) развили эту идею.

Общую основу для теории уравнений, строящуюся на теории перестановок, в 1770—1771 гг. нашёл Лагранж, и на этой почве в дальнейшем выросла теория подстановок. Он обнаружил, что корни всех резольвент, с которыми он сталкивался, являются рациональными функциями от корней соответствующих уравнений. Чтобы изучить свойства этих функций, он разработал «исчисление сочетаний» (Calcul des Combinaisons). Современная ему работа Вандермонда (1770 г.) также предвосхищала развитие теории групп.

Паоло Руффини в 1799 г. предложил доказательство неразрешимости уравнений пятой и высших степеней в радикалах. Для доказательства он использовал понятия теории групп, хоть и называл их другими именами. Руффини также опубликовал письмо, написанное ему Аббати, лейтмотивом которого была теория групп.

Галуа обнаружил, что если r_1, r_2, … r_n — корни уравнения, то всегда существует группа перестановок этих корней такая, что 1) всякая функция, инвариантная относительно подстановок группы, рациональна и, наоборот, 2) всякая рациональная функция от корней инвариантна относительно перестановок группы. Свои первые труды по теории групп он опубликовал в 1829 г., в возрасте 18 лет, но они остались практически незамеченными, пока в 1846 г. не было издано собрание его сочинений.

Артур Кэли и Огюстен Луи Коши стали одними из первых математиков, оценивших важность теории групп. Эти учёные также доказали некоторые важные теоремы теории (например, теорему Кэли и теорему Коши). Изучаемый ими предмет был популяризован Серретом, который посвятил теории секцию из своей книги по алгебре, Жорданом, чей труд «Действия над подстановками» (Traité des Substitutions) стал классикой, и Евгением Нетто (1882 г.), чей труд был в 1892 г. переведён на английский язык Коулом. Большой вклад в развитие теории групп внесли также многие другие математики XIX века: Бертран, Эрмит, Фробениус, Кронекер и Матьё.

Современное определение понятия «группа» было дано только в 1882 г. Вальтером фон Дюком.

В 1884 г. Софус Ли положил начало изучению как групп преобразований того, что мы сейчас называем группами Ли и их дискретными подгруппами; за его трудом последовали работы Киллинга, Штуди, Шура, Маурера и Эли Картана. Теория дискретных групп была разработана Клейном, Ли, Пуанкаре и Пикаром в связи с изучением модулярных форм и других объектов.

В середине XX века (в основном, между 1955 и 1983 гг.) была проведена огромная работа по классификации всех конечных простых групп, включающая десятки тысяч страниц статей.

Ощутимый вклад в теорию групп внесли и многие другие математики, такие как Артин, Эмми Нётер, Людвиг Силов и другие.

Теорема Леонардо да Винчи : прямые, соединяющие вершины тетраэдра с центрами тяжести противоположных граней, пересекаются в точке, являющейся центром тяжести тетраэдра и делящей каждую из прямых на две части, из которых та, что прилегает к вершине, втрое больше другой.

федоровские группы симметрии или пространственные группы симметрии(Гсп)

Это — совокупности элементов симметрии для правильных систем точек, т. е. таких бесконечно протяженных систем, в которых вокруг каждой точки все остальные расположены совершенно так же, как и вокруг всякой другой. В кристаллографии Гсп. соответствуют возможным совокупностям элементов симметрии для кристаллических структур. Гсп. являются теми геометрическими законами, по которым могут располагаться атомы, ионы, молекулы в кристаллическом пространстве. Общее число Гсп. 230 выводится из 32 видов симметрии путем добавления к последним совокупностей чистых трансляций (см. Решетки Браве), а также путем замены простых осей и пл. симметрии винтовыми осями и пл. скользящего отражения. При расшифровке кристаллических структур путем рентгеноструктурного анализа одной из первых задач является определение Г. с. п. исследуемой кристаллической структуры. Первый вывод 230 Г. с. п. был дан Федоровым в 1890 г.

Симметрия (др.-греч. συμμετρία «соразмерность», от μετρέω — «меряю»), в широком смысле — соответствие, неизменность (инвариантность), проявляемые при каких-либо изменениях, преобразованиях (например: положения, энергии, информации, другого). Так, например, сферическая симметрия тела означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы (сохраняя одну точку на месте). Двусторонняя симметрия означает, что правая и левая сторона относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.

Симметрия в искусстве

Витрувианский человек — рисунок, нарисованный Леонардо да Винчи примерно в 1490-92 годах как иллюстрация для книги, посвящённой трудам Витрувия, и помещённый в одном из его журналов. На нём изображена фигура обнажённого мужчины в двух наложенных одна на другую позициях: с разведёнными в стороны руками и ногами, вписанная в окружность; с разведёнными руками и сведёнными вместе ногами, вписанная в квадрат. Рисунок и пояснения к нему иногда называют каноническими пропорциями.

Рисунок выполнен пером, чернилами и акварелью с помощью металлического карандаша, размеры рисунка 34,3×24,5 сантиметра. В настоящее время находится в коллекции галереи Академии в Венеции.

Рисунок является одновременно научным трудом и произведением искусства, также он служит примером интереса Леонардо к пропорциям.

В соответствии с сопроводительными записями Леонардо, он был создан для определения пропорций (мужского) человеческого тела, как оно описано в трактатах античного римского архитектора Витрувия (Vitruvius), который написал следующее про человеческое тело:

  • длина от кончика самого длинного до самого низкого основания из четырёх пальцев равна ладони
  • ступня составляет три ладони
  • локоть составляет шесть ладоней
  • высота человека составляет четыре локтя (и соответственно 24 ладони)
  • шаг равняется четырём ладоням
  • размах человеческих рук равен его высоте
  • расстояние от линии волос до подбородка составляет 1/10 его высоты
  • расстояние от макушки до подбородка составляет 1/8 его высоты
  • расстояние от макушки до сосков составляет 1/4 его высоты
  • максимум ширины плеч составляет 1/4 его высоты
  • расстояние от локтя до кончика руки составляет 1/4 его высоты
  • расстояние от локтя до подмышки составляет 1/8 его высоты
  • длина руки составляет 2/5 его высоты
  • расстояние от подбородка до носа составляет 1/3 длины его лица
  • расстояние от линии волос до бровей 1/3 длины его лица
  • длина ушей 1/3 длины лица
  • пупок является центром окружности

Симметрия

Законы симметрии ярко выражены в природе - В любом виде искусства значительное место занимает симметрия - средство создания художественного образа, создании гармонии. Симметрия является одним из важных средств достижения единства и художественной выразительности композиции в художественном проектировании. С симметрией человек встречается повседневно в природе и технике, она проходит через всю многовековую историю человеческого творчества, ее широко используют архитекторы, живописцы, скульпторы, художники-конструкторы, инженеры и даже техники, биологи, химики и т. д.

Симметрия, которую человек раскрыл и осмыслил в творениях природы, становилась для него постепенно своеобразной нормой прекрасного. Он начинал сознательно использовать ее уже как средство гармоничной организации формы. Именно как средство композиции симметрия прошла длинный путь развития — от строжайшей канонизации (во многих восточных культурах) до такой свободной трактовки (например, в эпоху Возрождения), когда следует говорить скорее о сложном композиционном равновесии при сохранении за симметрией роли организующего начала.

Человек уже на заре цивилизации имел представление о симметрии, по ее законам строил свои сооружения, изготовлял предметы быта и все это определялось не только практическими требованиями, но в какой-то мере и эстетическими. Мощные, торжественные египетские храмы, светлые по образу древние греческие строения, знаменитые римские форумы и триумфальные арки - все эти сооружения симметричны. В прикладном искусстве это различные вазы, чайные и кофейные сервизы, многие украшения. Многочисленные примеры строгой симметрии можно найти в расположении средств и элементов художественно-политического оформления, Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что симметрия прекрасна. Исходя из соображений симметрии, они высказали ряд догадок. Так, Пифагор (V век до н. э.), считая сферу наиболее симметричной и совершенной формой, делал вывод о сферичности Земли и о ее движении по сфере. Идея симметрии часто являлась отправным пунктом в гипотезах и теориях ученых прошлых веков, веривших в математическую гармонию мироздания и видевших в этой гармонии проявление божественного начала. Для древнерусской архитектуры, например, не характерна канонизация симметрии, и многочисленные отступления словно призваны связать форму храма с природой. Натолкнув человека на мысль об использовании симметрии для организации предметных форм, природа подсказала ему и возможность отступления от строгого закона. Ведь в формах самой природы постоянно встречаются подобные отступления: одна клешня краба или рака заметно больше другой, «рисунок» зебры не повторяется на двух половинах ее тела и т. д. Известный математик Генрих Вейль глубоко исследовал симметрию как математическую закономерность. «Симметрия — в широком или узком смысле в зависимости от того, как вы определите значение этого понятия,— является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство».

Понятие симметрия не ограничивается симметрией объектов. Оно распространяется также на физические явления и управляющие ими физические законы. Именно симметрия позволяет нам охватить самые разнообразные тела с единых позиций. Слово «симметрия» в переводе с греческого означает «соразмерность».

Симметрия — одно из наиболее ярких и наглядно проявляющихся свойств композиции, средство, с помощью которого организуется форма предмета (зданий, машин, станков, бытовых приборов и т. п.) или композиции, где элементы расположены правильно относительно плоскости, оси или центра. В симметрии очень широк диапазон возможностей и аспектов художественной выразительности. Придавая композиции торжественность, равновесие и порядок, симметрия не мешает в то же время выражению экспрессии и динамике формы.

При повороте фигуры вокруг центра, оси или плоскости симметричные элементы полностью совмещаются друг с другом. Существуют несколько видов симметрии.

Симметрия относительно точки - Центральная симметрия – это преобразование плоскости (или пространства), при котором единственная точка (точка О – центр симметрии) остаётся на месте, остальные же точки меняют своё положение.

Наиболее простой вид симметрии — зеркальный — основывается на равенстве двух частей фигуры, расположенных одна относительно другой как предмет и его отражение в зеркале. Воображаемая плоскость, которая делит такую фигуру пополам, называется плоскостью симметрии. Зеркальная симметрия широко распространена в предметах быта, сувенирных изделиях. Большинство симметрично решенных сооружений имеют зеркальную плоскость симметрии, как, например, Адмиралтейство в Санкт-Петербурге.

Другой тип симметрии — осевая симметрия — связана с вращательным движением и повтором элементов вокруг оси симметрии, т. е. линии, при повороте вокруг которой фигура может неоднократно совмещаться сама с собой. Осевая симметрия встречается реже. Она характерна для центричных композиций: осветительной арматуры, стиральных машин, турбин. Примером осевой симметрии могут служить круглые храмы, различные беседки, ротонды. В наше время - здания цирка, многие спортивные сооружения, павильоны выставок.

Характерной разновидностью является винтовая симметрия, которая получается в результате винтового движения точки или линии вокруг неподвижной оси. Винтовая симметрия обычно применяется в элементах различного рода машин, станков, самолетов, пароходов.

Асимметрия и симметрия имеют в формах природы различную силу звучания. Как говорит Г. Вейль, «…геометризованное понятие зеркальной симметрии начинает растворяться в смутном понятии уравновешенности (нем. Ausgewogenheit), понятии гармонического творения…». При конструировании постоянно приходится сталкиваться с самыми различными проявлениями симметрии, в том числе и с такими, которые Вейль как математик, привыкший к точному языку математического выражения, называет смутным понятием уравновешенности.

Симметрия и асимметрия помогают достигать художественной выразительности статичных и динамичных композиций. В художественном конструировании постоянно приходится сталкиваться с самыми различными проявлениями симметрии и асимметрии, потому что при их помощи устанавливается определенный порядок размещения форм, связанный с назначением предмета, с той работой, которую он должен выполнять и красотой самого предмета. Практика пластических искусств дает нам многочисленные примеры самого разнообразного использования симметрии и асимметрии. В одних случаях композиция приближается к абсолютной симметрии. В других, при наличии общей симметричной основы, прослеживается явная асимметрия деталей. В третьих, наоборот, асимметричная в целом композиция состоит из симметричных частей. И наконец, композиция может быть и в целом, и в деталях полностью асимметрична.

В творческой практике отклонения от симметрии встречаются значительно чаще, нежели чистая симметрии. Причем отклонения эти являются не столько результатом функциональных требований, сколько художественным приемом усиления образной выразительности композиции, ее жизненной убедительности. Часто эти приемы использовались в древнерусском искусстве, а также мастерами народного декоративного искусства. Используются и теперь.

Симметрия и асимметрия при правильном их использовании в композиции могут стать важнейшим средством решения объемно-пространственных задач и задач гармонизации форм.

Для того, чтобы провести анализ симметричной и асимметричной форм в природном и техническом аналогах, необходимо подобрать сходные не только по внешнему виду, но и по конструктивной обусловленности ярко выраженные образцы. При помощи осевых и формообразующих линий можно убедиться в том, что асимметричная форма для одних изделий столь же объективный результат решения функциональной задачи, каким для других является форма симметричная. Абсолютной симметрии и асимметрии в природе практически не существует. Что же касается формы станков, машин, приборов, различного оборудования, как правило, она неизбежно имеет некоторые отступления от симметрии, вызванные условиями их функционирования и особенностями конструкции.

Главное условие целостности асимметричной формы — это ее композиционная уравновешенность. Поэтому в ходе анализа таких форм прежде необходимо проверить их на условных композициях из геометрических тел.

others/primenenie_teorii_grupp_k_izucheniju_zakonomernostej_simmetrii.txt · Последние изменения: 2015/01/14 16:32 — algem