Инструменты пользователя

Инструменты сайта


others:ponjatie_mnogochlena._stepen_mnogochlena

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

others:ponjatie_mnogochlena._stepen_mnogochlena [2014/11/27 09:07] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +====== Понятие многочлена. Степень многочлена ======
 +**Многочленом от переменной //х//** будем называть выражение вида:\\
 +//​a<​sub>​n</​sub>​x<​sup>​n</​sup>​ +a<​sub>​n-1</​sub>​x<​sup>​n-1</​sup>​ + ... + a<​sub>​1</​sub>​x + a<​sub>​0</​sub>//,​\\
 +где **n** - натуральное число; //​а<​sub>​n</​sub>,​ a<​sub>​n-1</​sub>,​...,​ a<​sub>​1</​sub>,​ a<​sub>​0</​sub>//​ - любые числа, называемые коэффициентами этого многочлена.\\
 +Выражения //​a<​sub>​n</​sub>​x<​sup>​n</​sup>,​ a<​sub>​n-1</​sub>​x<​sup>​n-1</​sup>,​...,​ a<​sub>​1</​sub>​х,​ a<​sub>​0</​sub>//​ называются членами многочлена,​ //​а<​sub>​0</​sub>//​ - свободным членом.\\
 +Многочлен,​ у которого все коэффициенты равны нулю, называется //​нулевым//​.\\
 +Многочлен от одной переменной //х// обозначается так: ​ **//f(x), g(x), h(x)//** и т.д.\\
 +
 +Если имеется многочлен //f(x) = a<​sub>​n</​sub>​x<​sup>​n</​sup>​ + a<​sub>​n-1</​sub>​x<​sup>​n-1</​sup>​ + ... + a<​sub>​1</​sub>​x + a<​sub>​0</​sub>//​ и //​a<​sub>​n</​sub>​≠0//,​ то число **n** называют **степенью** многочлена //f(x)// (или говорят:​ //f(x) - n-й степени//​) и пишут ст. //f(x)=n//. В этом случае //​a<​sub>​n</​sub>//​ называется старшим коэффициентом,​ а //​a<​sub>​n</​sub>​x<​sup>​n</​sup>//​ - старшим членом данного многочлена.\\
 +Например,​ если //f(x) = 5x<​sup>​4</​sup>​ - 2x + 3//, то ст. //f(x)=4//, старший коэффициент - //5//, старший член - //​5х<​sup>​4</​sup>//​.\\
 +
 +Рассмотрим теперь многочлен //f(x)=a//, где //а// - число, отличное от нуля. Чему равна степень этого многочлена?​\\
 +Легко заметить,​ что коэффициенты многочлена //f(x) = a<​sub>​n</​sub>​x<​sup>​n</​sup>​ +a<​sub>​n-1</​sub>​x<​sup>​n-1</​sup>​ + ... + a<​sub>​1</​sub>​x + a<​sub>​0</​sub>//​ пронумерованы справа налево числами //0, 1, 2, …, n-1, n// и если //​a<​sub>​n</​sub>​≠0//,​ то ст. //f(x)=n//. Значит,​ степень многочлена - это наибольший из номеров его коэффициентов,​ отличных от нуля (при той нумерации,​ о которой только что говорилось).\\
 +Вернемся теперь к многочлену //f(x)=a//, //a≠0//, и пронумеруем его коэффициенты справа налево числами //0, 1, 2, …// коэффициент //а// при этом получит номер //0//, а так как все остальные коэффициенты - нулевые,​ то это и есть самый большой из номеров коэффициентов данного многочлена,​ отличных от нуля. Значит ст. //​f(x)=0//​.\\
 +
 +Осталось выяснить,​ как обстоит дело со степенью нулевого многочлена. Как известно,​ все его коэффициенты равны нулю, и поэтому к нему нельзя применить данное выше определение. Так вот, условились нулевому многочлену не присваивать никакой степени,​ т.е. что он не имеет степени.\\
 +
 +Итак, нулевой многочлен степени не имеет; многочлен //f(x)=a//, где //а// - число, отличное от нуля, имеет степень 0; степень же всякого другого многочлена равна наибольшему показателю степени переменной //х//.\\
 +
 +В заключение напомним еще несколько определений. Многочлен второй степени //f(x) = ax<​sup>​2</​sup>​ + bx + c// называется квадратным трехчленом. Многочлен первой степени вида //g(x) = x + c// называется линейным двучленом.
 +
 +__//​Литература//​__\\
 +Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение,​ 1980.\\
  
others/ponjatie_mnogochlena._stepen_mnogochlena.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:07 (внешнее изменение)