Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

others:ponjatie_mnogochlena._stepen_mnogochlena

Понятие многочлена. Степень многочлена

Многочленом от переменной х будем называть выражение вида:
anxn +an-1xn-1 + … + a1x + a0,
где n - натуральное число; аn, an-1,…, a1, a0 - любые числа, называемые коэффициентами этого многочлена.
Выражения anxn, an-1xn-1,…, a1х, a0 называются членами многочлена, а0 - свободным членом.
Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, называется нулевым.
Многочлен от одной переменной х обозначается так: f(x), g(x), h(x) и т.д.

Если имеется многочлен f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 и an≠0, то число n называют степенью многочлена f(x) (или говорят: f(x) - n-й степени) и пишут ст. f(x)=n. В этом случае an называется старшим коэффициентом, а anxn - старшим членом данного многочлена.
Например, если f(x) = 5x4 - 2x + 3, то ст. f(x)=4, старший коэффициент - 5, старший член - 4.

Рассмотрим теперь многочлен f(x)=a, где а - число, отличное от нуля. Чему равна степень этого многочлена?
Легко заметить, что коэффициенты многочлена f(x) = anxn +an-1xn-1 + … + a1x + a0 пронумерованы справа налево числами 0, 1, 2, …, n-1, n и если an≠0, то ст. f(x)=n. Значит, степень многочлена - это наибольший из номеров его коэффициентов, отличных от нуля (при той нумерации, о которой только что говорилось).
Вернемся теперь к многочлену f(x)=a, a≠0, и пронумеруем его коэффициенты справа налево числами 0, 1, 2, … коэффициент а при этом получит номер 0, а так как все остальные коэффициенты - нулевые, то это и есть самый большой из номеров коэффициентов данного многочлена, отличных от нуля. Значит ст. f(x)=0.

Осталось выяснить, как обстоит дело со степенью нулевого многочлена. Как известно, все его коэффициенты равны нулю, и поэтому к нему нельзя применить данное выше определение. Так вот, условились нулевому многочлену не присваивать никакой степени, т.е. что он не имеет степени.

Итак, нулевой многочлен степени не имеет; многочлен f(x)=a, где а - число, отличное от нуля, имеет степень 0; степень же всякого другого многочлена равна наибольшему показателю степени переменной х.

В заключение напомним еще несколько определений. Многочлен второй степени f(x) = ax2 + bx + c называется квадратным трехчленом. Многочлен первой степени вида g(x) = x + c называется линейным двучленом.

Литература
Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980.

others/ponjatie_mnogochlena._stepen_mnogochlena.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:07 (внешнее изменение)