Инструменты пользователя

Инструменты сайта


others:ponjatie_i_stepen_mnogochlena

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Следущая версия
Предыдущая версия
others:ponjatie_i_stepen_mnogochlena [2012/12/20 01:02]
dima создано
others:ponjatie_i_stepen_mnogochlena [2014/11/27 09:07] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
-====== Понятие ​многочлена. Степень многочлена ====== +====== Понятие ​и степень многочлена ====== 
-**Многочленом от переменной //х//** будем называть выражение ​вида:\\ +Нередко приходится рассматривать многочлены, зависящие не от одного, ​а двух, трех, вообще от нескольких неизвестных.\\ 
-//a<sub>n</​sub>​x<​sup>​n</​sup>​ +a<sub>n-1</​sub>​x<​sup>​n-1</​sup>​ + ... + a<​sub>​1</​sub>​+ a<sub>0</​sub>//​,\\ +**Многочленом ​//f(x<sub>1</​sub>​x<​sub>​2</​sub>​...x<​sub>​n</​sub>​)// от //n// неизвестных ​//x<sub>1</​sub>, ​x<sub>2</​sub>,​ ..., x<sub>n</​sub>//​** над некоторым полем //P// называется сумма конечного числа членов вида //x<sub>1</​sub><​sup>​k<​sub>​1</​sub>​</​sup>​x<sub>2</​sub><​sup>​k<​sub>​2</​sub>​</​sup>​...x<sub>n</​sub>​<​sup>​k<​sub>​n</​sub></​sup>//​где все //k<sub>i</​sub>​≥0//, с коэффициентами из поля //P//; при этом предполагается, понятно, что ​многочлен 
-где **n** - натуральное число; //а<sub>n</​sub>, ​a<sub>n-1</​sub>,​..., ​a<sub>1</​sub>​, a<​sub>​0<​/sub>// - любые числа, ​называемые коэффициентами этого многочлена.\\ +//f(x<sub>1</​sub>​, x<​sub>​2<​/sub>, ..., x<​sub>​n<​/sub>)// не содержит подобных членов и что рассматриваются лишь ​члены с отличными ​от нуля коэффициентами.\\
-Выражения //a<sub>n</​sub>​x<sup>n</​sup>​, a<sub>n-1</​sub>​x<sup>n-1</​sup>​,..., a<sub>1</​sub>​хa<sub>0</​sub>//​ называются ​членами ​многочлена, //а<sub>0</​sub>// ​свободным членом.\\ +
-Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, называется ​//нулевым//​.\\ +
-Многочлен от одной переменной //х// обозначается ​так:  **//f(x), g(x), h(x)//​** ​и т.д.\\+
  
-Если имеется ​многочлен //f(x) = a<sub>n</​sub>​x<​sup>n</sup+ a<​sub>​n-1</​sub>​x<​sup>​n-1</​sup>​ + ... + a<​sub>​1</​sub>​x ​+ a<sub>0</​sub>​// и //a<​sub>​n</​sub>​≠0//, то число **n** называют ​**степенью** многочлена ​//f(x)// (или говорят: //f(x) - n-й степени//и пишут ст. //f(x)=n//. В этом случае //​a<​sub>​n</​sub>//​ называется ​старшим коэффициентом, а //​a<​sub>​n</​sub>​x<​sup>​n</​sup>//​ - старшим членом данного ​многочлена.\\ +Два ​многочлена от //n// неизвестных, ​//​f(x<​sub>​1</​sub>​x<sub>2</sub>, ..., x<​sub>​n</​sub>​)// и //g(x<​sub>​1</​sub>​x<​sub>​2</​sub>​, ..., x<​sub>​n</​sub>​)//, считаются //равными//(или тождественно равными), если ​равны ​их коэффициенты при одинаковых ​членах.\\
-Например, если ​//f(x) = 5x<​sup>​4</​sup>​ - 2x + 3//, то ст. //f(x)=4//, старший коэффициент ​- //5//, старший член ​- //5х<​sup>​4</​sup>//​.\\+
  
-Рассмотрим теперь многочлен //f(x)=a//, где //а// - число, отличное от нуля. Чему равна степень этого ​многочлена?\\ +Если дан многочлен //​f(x<​sub>​1</​sub>​x<​sub>​2</​sub>​...x<​sub>​n</​sub>​)// над полем //P//, то его ​//​степенью по отношению к неизвестному x<​sub>​i<​/sub>i=1,2,...,n//, называется наивысший показатель, с каким входит //x<​sub>​i</​sub>​// в члены этого многочлена. ​Случайно эта ​степень ​может быть равной ​0, что означает, что ​хотя //f// считается многочленом от //n// неизвестных //x<​sub>​1<​/sub>, x<​sub>​2<​/sub>, ​..., x<​sub>​i</​sub>,​ ..., x<​sub>​n</​sub>//, ​но неизвестное //x<sub>i</sub>// на самом ​деле в его запись не входит.\\
-Легко заметить,​ что коэффициенты многочлена ​//f(x) = a<sub>n</​sub>​x<​sup>​n</​sup>​ +a<sub>n-1</​sub>​x<​sup>​n-1</​sup>​ + ... + a<​sub>​1</​sub>​+ a<sub>0</​sub>// ​пронумерованы справа налево числами //0, 1, 2, …, n-1, n// и если //​a<​sub>​n</​sub>​≠0//, то ст. //f(x)=n//. Значит, ​степень ​многочлена - это наибольший из номеров его коэффициентов, отличных от нуля (при той нумерации, о которой только что говорилось).\\ +
-Вернемся теперь к многочлену //f(x)=a//, //a≠0//, и пронумеруем его коэффициенты справа ​налево числами //0, 1, 2, …// коэффициент //а// при этом получит номер //​0//, ​а так как все остальные коэффициенты - нулевыето это и есть ​самый большой ​из номеров коэффициентов ​данного многочлена,​ отличных от нуля. Значит ст. //f(x)=0//.\\ +
- +
-Осталось ​выяснить,​ как обстоит дело со степенью нулевого многочлена. ​Как известно, все его коэффициенты равны нулю, и поэтому к нему нельзя ​применить данное выше определение. Так вот, условились нулевому многочлену не присваивать ​никакой степенит.е. ​что он не имеет степени.\\ +
- +
-Итакнулевой многочлен степени не имеет; многочлен ​//f(x)=a//, где //а// - число, отличное от нуля, ​имеет степень 0; степень же всякого другого ​многочлена равна наибольшему показателю степени переменной ​//х//.\\ +
- +
-В заключение напомним еще несколько определений. Многочлен второй степени ​//f(x) = ax<sup>2</sup+ bx + c// называется квадратным трехчленом. Многочлен первой степени вида //g(x) = x + c// называется линейным двучленом.+
  
 +С другой стороны,​ если мы назовем степенью члена //​x<​sub>​1</​sub><​sup>​k<​sub>​1</​sub></​sup>​x<​sub>​2</​sub><​sup>​k<​sub>​2</​sub></​sup>​...x<​sub>​n</​sub><​sup>​k<​sub>​n</​sub></​sup>//​ число //​k<​sub>​1</​sub>​ + k<​sub>​2</​sub>​ + ... + k<​sub>​n</​sub>//,​ т.е. сумму показателей при неизвестных,​ то **степенью многочлена** //​f(x<​sub>​1</​sub>,​ x<​sub>​2</​sub>,​ ..., x<​sub>​n</​sub>​)//​ будет наивысшая из степеней его членов.\\
 +В частности,​ многочленами нулевой степени будут, как и в случае одного неизвестного,​ лишь отличные от нуля элементы из поля //P//. С другой стороны,​ нуль будет единственным многочленом от //n// неизвестных,​ степень которого не определена. Понятно,​ что многочлен в общем случае может содержать несколько членов наивысшей степени и поэтому нельзя говорить о старшем (по степени) члене многочлена.\\
 + 
 __//​Литература//​__\\ __//​Литература//​__\\
-Винберг ЭБАлгебра многочленов. — М.: Просвещение1980.\\+В. ВПрасолов. Многочлены. — М.:МЦНМО2003.
others/ponjatie_i_stepen_mnogochlena.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:07 (внешнее изменение)