Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

others:podpr2

Понятие Группа послужило во многих отношениях образцом при перестройке алгебры и вообще математики на рубеже 19—20 вв. Истоки понятия Группа обнаруживаются в нескольких дисциплинах, главная из которых — теория решений алгебраических уравнений в радикалах. В 1771 французские математики Ж. Лагранж и А.Вандермонд впервые для нужд этой теории применили подстановки (для теории Группа особенно важен «Мемуар об алгебраическом решении уравнений» Лагранжа). Затем в ряде работ итальянского математика П. Руффини (1799 и позднее), посвященных доказательству неразрешимости уравнения 5-й степени в радикалах, систематически используется замкнутость множества подстановок относительно их композиции и по существу описаны подгруппы группы всех подстановок пяти символов. Глубокие связи между свойствами Группа подстановок и свойствами уравнений были указаны норвежским математиком Н. Абелем (1824) и французским математиком Э. Галуа (1830). Галуа принадлежат и конкретные достижения в теории Группа (матем.): открытие роли т. н. нормальных подгрупп в связи с задачей о разрешимости уравнений в радикалах, установление свойства простоты знакопеременных Группа степени n ³ 5 и др.; он же ввёл термин «группа» (le Group), хотя и не дал строгого определения. Важную роль в систематизации и развитии теории Группа сыграл трактат французского математика К. Жордана «Группа подстановок» (1870).

Она гласит: если группа обладает композиционными рядами, то любые два ее композиционных ряда изоморфны. К. Жордан, и О. Гёльдер, занимаясь вопросом о разрешимости уравнений в радикалах, исследовали группы подстановок. Для этих групп К. Жордан ввел понятие композиционного и главного рядов и доказал, что индексы двух одноименных рядов (т. е. индексы подгруппы Gi в Gi+1), с точностью до расположения, одинаковы. Иными словами, было доказано совпадение последовательностей порядков факторов двух композиционных (главных) рядов с точностью до расположения.

Независимо и из других соображений идея Группа возникла в геометрии, когда в середине 19 в. на смену единой античной геометрии пришли многочисленные «геометрии» и остро встал вопрос об установлении связей и родства между ними. Выход из создавшегося положения был намечен исследованиями по проективной геометрии, посвященными изучению поведения фигур при различных преобразованиях. Постепенно интерес в этих исследованиях перешёл на изучение самих преобразований и поиск их классификации. Таким «изучением геометрического родства» много занимался немецкий математик А. Мёбиус. Заключительным этапом на этом пути явилась «Эрлангенская программа» немецкого математика Ф. Клейна (1872), положившая в основу классификации геометрий понятие Группа преобразований: каждая геометрия определена некоторой Группа (матем.) преобразований пространства, и только те свойства фигур принадлежат к данной геометрии, которые инвариантны относительно преобразований соответствующей Группаю.

Третий источник понятия Группа — теория чисел. Уже Л. Эйлер (1761), изучая «вычеты, остающиеся при делении степеней», по существу пользовался сравнениями и разбиениями на классы вычетов, что на теоретико-групповом языке означает разложение Группа на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс в «Арифметических исследованиях» (1801), занимаясь уравнением деления круга, фактически определил подгруппы его группы Галуа. Там же, изучая «композицию двоичных квадратичных форм», Гаусс по существу доказывает, что классы эквивалентных форм образуют относительно композиции конечную абелеву Группа. Развивая эти идеи, немецкий математик Л. Кронекер (1870) вплотную подошёл к основным теореме о конечных абелевых Группа, хотя и не сформулировал её явно.

Осознание в конце 19 в. принципиального единства теоретико-групповых форм мышления, существовавших к тому времени независимо в разных областях математики, привело к выработке современного абстрактного понятия Группа (норвежский математик С. Ли, нем. математик Ф. Фробениус и др.). Так, уже в 1895 Ли определял Группа как совокупность преобразований, замкнутую относительно их композиции, удовлетворяющей условиям 1), 2), 3). Изучение Группа без предположения их конечности и без каких бы то ни было предположений о природе элементов впервые оформилось в самостоятельную область математики с выходом книги О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп» (1916).

others/podpr2.txt · Последние изменения: 2015/01/14 16:39 — 83.69.2.229