Инструменты пользователя

Инструменты сайта


others:podpr1

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Both sides previous revision Предыдущая версия
Следущая версия
Предыдущая версия
others:podpr1 [2012/12/26 22:20]
piro
others:podpr1 [2014/11/27 09:06]
127.0.0.1 внешнее изменение
Строка 3: Строка 3:
 К середине XIX века геометрия разделилась на множество плохо согласованных разделов:​ евклидова,​ сферическая,​ гиперболическая,​ проективная,​ аффинная,​ конформная,​ риманова,​ многомерная,​ комплексная и т. д. На рубеже веков, уже после доклада Клейна,​ к ним добавились ещё псевдоевклидова геометрия и топология. К середине XIX века геометрия разделилась на множество плохо согласованных разделов:​ евклидова,​ сферическая,​ гиперболическая,​ проективная,​ аффинная,​ конформная,​ риманова,​ многомерная,​ комплексная и т. д. На рубеже веков, уже после доклада Клейна,​ к ним добавились ещё псевдоевклидова геометрия и топология.
  
-Клейну принадлежит идея алгебраической классификации различных отраслей геометрии в соответствии с теми классами преобразований,​ которые для этой геометрии несущественны. Более точно выражаясь, ​**один раздел геометрии отличается от другого тем, что им соответствуют разные группы преобразований пространства,​ а объектами изучения выступают инварианты таких преобразований**.+Клейну принадлежит идея алгебраической классификации различных отраслей геометрии в соответствии с теми классами преобразований,​ которые для этой геометрии несущественны.** Более точно выражаясь,​ один раздел геометрии отличается от другого тем, что им соответствуют разные группы преобразований пространства,​ а объектами изучения выступают инварианты таких преобразований**.
  
 Например,​ классическая евклидова геометрия изучает свойства фигур и тел, сохраняющиеся при движениях без деформации;​ ей соответствует группа,​ содержащая вращения,​ переносы и их сочетания. Проективная геометрия может изучать конические сечения,​ но не имеет дела с кругами или углами,​ потому что круги и углы не сохраняются при проективных преобразованиях. Топология исследует инварианты произвольных непрерывных преобразований (Клейн отметил это ещё до того, как родилась топология). Изучая алгебраические свойства групп преобразований,​ мы можем открыть новые глубокие свойства соответствующей геометрии,​ а также проще доказать старые. Подход Клейна унифицировал различные геометрии и их методы,​ прояснил их различия. Вне данной схемы осталась только риманова геометрия;​ для её включения в общую систему понадобилось в 1920-х годах значительно обобщить подход Клейна. Например,​ классическая евклидова геометрия изучает свойства фигур и тел, сохраняющиеся при движениях без деформации;​ ей соответствует группа,​ содержащая вращения,​ переносы и их сочетания. Проективная геометрия может изучать конические сечения,​ но не имеет дела с кругами или углами,​ потому что круги и углы не сохраняются при проективных преобразованиях. Топология исследует инварианты произвольных непрерывных преобразований (Клейн отметил это ещё до того, как родилась топология). Изучая алгебраические свойства групп преобразований,​ мы можем открыть новые глубокие свойства соответствующей геометрии,​ а также проще доказать старые. Подход Клейна унифицировал различные геометрии и их методы,​ прояснил их различия. Вне данной схемы осталась только риманова геометрия;​ для её включения в общую систему понадобилось в 1920-х годах значительно обобщить подход Клейна.
Строка 11: Строка 11:
 Следует отметить,​ что после первой алгебраизации геометрии Декартом,​ то есть в аналитической геометрии,​ имелось одно неудобство:​ часто приходилось отдельно доказывать геометрический характер результатов,​ то есть их независимость от системы координат. Дополнительным достоинством подхода Клейна было то, что полученные инварианты по самому смыслу своего определения от системы координат не зависят. Следует отметить,​ что после первой алгебраизации геометрии Декартом,​ то есть в аналитической геометрии,​ имелось одно неудобство:​ часто приходилось отдельно доказывать геометрический характер результатов,​ то есть их независимость от системы координат. Дополнительным достоинством подхода Клейна было то, что полученные инварианты по самому смыслу своего определения от системы координат не зависят.
  
-Сущность Эрлангенская программа состоит в следующем. Как известно,​ евклидова геометрия рассматривает те свойства фигур, которые не меняются при движениях;​ равные фигуры определяются как фигуры,​ которые можно перевести одну в другую движением. Но вместо движений можно выбрать какую-нибудь иную совокупность геометрических преобразований и объявить «равными» фигуры,​ получающиеся одна из другой с помощью преобразований этой совокупности;​ при этом придём к иной «геометрии»,​ изучающей свойства фигур, не меняющиеся при рассматриваемых преобразованиях. Введённое «равенство» должно удовлетворять следующим трём естественным условиям:​+Сущность Эрлангенская программа состоит в следующем. Как известно,​ евклидова геометрия рассматривает те свойства фигур, которые не меняются при движениях;​ равные фигуры определяются как фигуры,​ которые можно перевести одну в другую движением. Но вместо движений можно выбрать какую-нибудь иную совокупность геометрических преобразований и объявить «равными» фигуры,​ получающиеся одна из другой с помощью преобразований этой совокупности;​ при этом придём к иной «геометрии»,​ изучающей свойства фигур, не меняющиеся при рассматриваемых преобразованиях. ​**Введённое «равенство» должно удовлетворять следующим трём естественным условиям**:
  
  1) каждая фигура F «равна» сама себе, ​  1) каждая фигура F «равна» сама себе, ​
Строка 19: Строка 19:
  3) если фигура F «равна» F″ а F″ «равна» F″″, то и F «равна» F″″. ​  3) если фигура F «равна» F″ а F″ «равна» F″″, то и F «равна» F″″. ​
  
-Соответственно этому приходится накладывать на совокупность преобразований следующие три требования:​+**Соответственно этому приходится накладывать на совокупность преобразований следующие три требования**:
  
  1) в совокупность должно входить тождественное преобразование,​ оставляющее всякую фигуру на месте,  1) в совокупность должно входить тождественное преобразование,​ оставляющее всякую фигуру на месте,
others/podpr1.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 — 127.0.0.1