Инструменты пользователя

Инструменты сайта


others:operacii_nad_mnogochlenami

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

others:operacii_nad_mnogochlenami [2014/11/27 09:06] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +====== Операции над многочленами ======
 +Многочлены можно складывать,​ вычитать и умножать по обычным правилам раскрытия скобок и приведения подобных членов. При этом в результате снова получается многочлен. Указанные операции обладают известными свойствами:​\\
 +  *//f(x) + g(x) = g(x) + f(x)//,
 +  *//f(x) + (g(x) + h(x)) = (f(x) + g(x)) + h(x)//,
 +  *//f(x)g(x) = g(x)f(x)//,
 +  *//​f(x)(g(x)h(x)) = (f(x)g(x))h(x)//,​
 +  *//​f(x)(g(x) + h(x)) = f(x)g(x) + f(x)h(x)//.
 +Пусть даны два многочлена //f(x) = a<​sub>​n</​sub>​x<​sup>​n</​sup>​ + a<​sub>​n-1</​sub>​x<​sup>​n-1</​sup>​ + ... + a<​sub>​1</​sub>​x + a<​sub>​0</​sub>//,​ //​a<​sub>​n</​sub>​≠0//​ и //g(x) = b<​sub>​m</​sub>​x<​sup>​m</​sup>​ + b<​sub>​m-1</​sub>​x<​sup>​m-1</​sup>​ + ... + b<​sub>​1</​sub>​x + b<​sub>​0</​sub>//,​ //​b<​sub>​m</​sub>​≠0//​.\\
 +Ясно, что ст. //f(x)=n//, а ст. //g(x)=m//. Если перемножить эти два многочлена,​ получится многочлен вида:\\
 +//f(x)g(x) = a<​sub>​n</​sub>​b<​sub>​m</​sub>​x<​sup>​m+n</​sup>​ + ... + a<​sub>​0</​sub>​b<​sub>​0</​sub>//​.\\
 +Так как //​a<​sub>​n</​sub>​≠0//​ и //​b<​sub>​m</​sub>​≠0//,​ то //​a<​sub>​n</​sub>​b<​sub>​m</​sub>​≠0//,​ а значит,​ ст. //​(f(x)g(x)) = m + n//. Отсюда следует важное утверждение.\\
 +Степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме степеней сомножителей,​ или ст. //​(f(x)g(x))//​ = ст. //f(x)// + ст. //g(x)//.\\
  
 +Старший член (коэффициент) произведения двух ненулевых многочленов равен произведению старших членов (коэффициентов) сомножителей.\\
 +Свободный член произведения двух многочленов равен произведению свободных членов сомножителей.\\
 +
 +**Суперпозицией многочленов** //f(x)// и //g(x)// называется многочлен,​ обозначаемый **//​f(g(x))//​**,​ который получается если в многочлене //f(x)// вместо //x// подставить многочлен //g(x)//.\\
 +Например,​ если: //f(x) = x<​sup>​2</​sup>​ + 2x - 1// и //g(x) = 2x + 3//, то\\
 +//f(g(x)) = f(2x + 3) = (2x + 3)<​sup>​2</​sup>​ + 2(2x + 3) - 1 = 4x<​sup>​2</​sup>​ + 16x + 14//;\\
 +//g(f(x)) = g(x<​sup>​2</​sup>​ + 2x - 1) = 2(x<​sup>​2</​sup>​ + 2x - 1) + 3 = 2x<​sup>​2</​sup>​ + 4x + 1//.\\
 +Видно, что //​f(g(x))≠g(f(x))//,​ т.е. суперпозиция многочленов //f(x), g(x)// и суперпозиция многочленов //g(x), f(x)// различны. Таким образом,​ операция суперпозиции не обладает свойством переместительности.
 +
 +__//​Литература//​__\\
 +В. В. Прасолов. Многочлены. — МЦНМО, 2003.
others/operacii_nad_mnogochlenami.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)