Инструменты пользователя

Инструменты сайта


others:operacii_nad_mnogochlenami._leksikograficheskoe_raspolozhenie_chlenov_mnogochlena

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

others:operacii_nad_mnogochlenami._leksikograficheskoe_raspolozhenie_chlenov_mnogochlena [2014/11/27 09:06] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +====== Операции над многочленами. Лексикографическое расположение членов многочлена ======
 +Для многочленов от //n// неизвестных над полем //P// следующим образом определяются операции сложения и умножения.\\
  
 +**Суммой** многочленов //​f(x<​sub>​1</​sub>,​ x<​sub>​2</​sub>,​ ..., x<​sub>​n</​sub>​)//​ и //​g(x<​sub>​1</​sub>,​ x<​sub>​2</​sub>,​ ..., x<​sub>​n</​sub>​)//​ называется многочлен,​ коэффициенты которого получаются сложением соответственных коэффициентов многочленов //f// и //g//; если при этом некоторый член входит лишь в один из многочленов //f//, //g//, то коэффициент при нем в другом многочлене считается,​ понятно,​ равным нулю.\\
 +
 +Произведение двух <<​одночленов>>​ определяется следующим равенством:​\\
 +
 +//​ax<​sub>​1</​sub><​sup>​k<​sub>​1</​sub></​sup>​x<​sub>​2</​sub><​sup>​k<​sub>​2</​sub></​sup>​...x<​sub>​n</​sub><​sup>​k<​sub>​n</​sub></​sup>//​ ⋅ //​bx<​sub>​1</​sub><​sup>​l<​sub>​1</​sub></​sup>​x<​sub>​2</​sub><​sup>​l<​sub>​2</​sub></​sup>​...x<​sub>​n</​sub><​sup>​l<​sub>​n</​sub></​sup>​ = (ab)x<​sub>​1</​sub><​sup>​k<​sub>​1</​sub>​+l<​sub>​1</​sub></​sup>​x<​sub>​2</​sub><​sup>​k<​sub>​2</​sub>​+l<​sub>​2</​sub></​sup>​...x<​sub>​n</​sub><​sup>​k<​sub>​n</​sub>​+l<​sub>​n</​sub></​sup>//,​\\
 +
 +после чего **произведение** многочленов //​f(x<​sub>​1</​sub>,​ x<​sub>​2</​sub>,​ ..., x<​sub>​n</​sub>​)//​ и //​g(x<​sub>​1</​sub>,​ x<​sub>​2</​sub>,​ ..., x<​sub>​n</​sub>​)//​ определяется как результат почленного перемножения и последующего приведения подобных членов.\\
 +Степень произведения двух отличных от нуля многочленов от //n// неизвестных равна сумме степеней этих многочленов.
 +==== Лексикографическое расположение членов многочлена ====
 +Для многочленов от одного неизвестного мы имеем два естественных способа расположения членов - по убывающим и по возрастающим степеням неизвестного. В случае многочленов от нескольких неизвестных такие способы уже отсутствуют:​ если дан многочлен пятой степени от трех неизвестных\\
 +
 +//​f(x<​sub>​1</​sub>,​ x<​sub>​2</​sub>,​ x<​sub>​3</​sub>​) = x<​sub>​1</​sub>​x<​sub>​2</​sub><​sup>​2</​sup>​x<​sub>​3</​sub><​sup>​2</​sup>​ + x<​sub>​1</​sub><​sup>​4</​sup>​x<​sub>​3</​sub>​ + x<​sub>​2</​sub><​sup>​3</​sup>​x<​sub>​3</​sub><​sup>​2</​sup>​ + x<​sub>​1</​sub><​sup>​2</​sup>​x<​sub>​2</​sub>​x<​sub>​3</​sub><​sup>​2</​sup>//,​\\
 +
 +то его можно было бы записать и в виде\\
 +
 +//​f(x<​sub>​1</​sub>,​ x<​sub>​2</​sub>,​ x<​sub>​3</​sub>​) = x<​sub>​1</​sub><​sup>​4</​sup>​x<​sub>​3</​sub>​ + x<​sub>​1</​sub><​sup>​2</​sup>​x<​sub>​2</​sub>​x<​sub>​3</​sub><​sup>​2</​sup>​ + x<​sub>​1</​sub>​x<​sub>​2</​sub><​sup>​2</​sup>​x<​sub>​3</​sub><​sup>​2</​sup>​ + x<​sub>​2</​sub><​sup>​3</​sup>​x<​sub>​3</​sub><​sup>​2</​sup>//,​\\
 +
 +и нет оснований одну из этих записей предпочесть другой. Существует,​ однако,​ способ вполне определенного расположения членов многочлена от нескольких неизвестных,​ зависящий,​ впрочем,​ от выбора нумерации неизвестных;​ для многочленов от одного неизвестного он приводит к расположению членов по убывающим степеням неизвестного. Этот способ,​ называемый //​лексикографическим//,​ подсказан обычным приемом расположения слов в словарях:​ считая буквы упорядоченными так, как это принято в алфавите,​ мы определяем взаимное положение двух данных слов в словаре по их первым буквам,​ если же эти буквы совпадают,​ то по вторым буквам и т.д.\\
 +
 +Пусть дан многочлен //​f(x<​sub>​1</​sub>,​ x<​sub>​2</​sub>,​ ..., x<​sub>​n</​sub>​)//​ и в нем два различных члена:​\\
 +
 +//​x<​sub>​1</​sub><​sup>​k<​sub>​1</​sub></​sup>​x<​sub>​2</​sub><​sup>​k<​sub>​2</​sub></​sup>​...x<​sub>​n</​sub><​sup>​k<​sub>​n</​sub></​sup>//,​ **(1)**\\
 +//​x<​sub>​1</​sub><​sup>​l<​sub>​1</​sub></​sup>​x<​sub>​2</​sub><​sup>​l<​sub>​2</​sub></​sup>​...x<​sub>​n</​sub><​sup>​l<​sub>​n</​sub></​sup>//,​ **(2)**\\
 +
 +коэффициенты которых являются некоторыми отличными от нуля элементами из //P//. Так как члены (1) и (2) различны,​ то хотя бы одна из разностей показателей при неизвестных\\
 +//​k<​sub>​i</​sub>​ - l<​sub>​i</​sub>,​ i = 1,​2,​...,​n//,​\\
 +отлична от нуля. Член (1) будет будет считаться //​выше//​ члена (2), если первая из этих разностей,​ отличная от нуля, положительна,​ т.е. если существует такое //i, 1 ≤ i ≤ n//, что\\
 +//​k<​sub>​1</​sub>​ = l<​sub>​1</​sub>,​ k<​sub>​2</​sub>​ = l<​sub>​2</​sub>,​ ..., k<​sub>​i-1</​sub>​ = l<​sub>​i-1</​sub>//,​ но //​k<​sub>​i</​sub>​ > l<​sub>​i</​sub>//​.\\
 +Иными словами,​ член (1) будет выше члена (2), если показатель при //​x<​sub>​1</​sub>//​ в (1) больше,​ чем в (2), или если эти показатели равны, но показатель при //​x<​sub>​2</​sub>//​ в (1) больше,​ чем в (2), и т.д. Легко видеть,​ что из того, что член (1) выше члена (2), не следует,​ что степень первого по совокупности неизвестных больше степени второго:​ из членов\\
 +//​x<​sub>​1</​sub><​sup>​3</​sup>​x<​sub>​2</​sub>​x<​sub>​3</​sub>,​ x<​sub>​1</​sub>​x<​sub>​2</​sub><​sup>​5</​sup>​x<​sub>​3</​sub><​sup>​2</​sup>//​\\
 +первый выше, хотя имеет меньшую степень.\\
 +Так, многочлен\\
 +
 +//​f(x<​sub>​1</​sub>,​ x<​sub>​2</​sub>,​ x<​sub>​3</​sub>,​ x<​sub>​4</​sub>​) = x<​sub>​1</​sub><​sup>​4</​sup>​ + 3x<​sub>​1</​sub><​sup>​2</​sup>​x<​sub>​2</​sub><​sup>​3</​sup>​x<​sub>​3</​sub>​ - x<​sub>​1</​sub><​sup>​2</​sup>​x<​sub>​2</​sub><​sup>​3</​sup>​x<​sub>​4</​sub><​sup>​2</​sup>​ + 5x<​sub>​1</​sub>​x<​sub>​3</​sub>​x<​sub>​4</​sub><​sup>​2</​sup>​ + 2x<​sub>​2</​sub>​ + x<​sub>​3</​sub><​sup>​3</​sup>​x<​sub>​4</​sub>​ - 4//\\
 +
 +расположен лексикографически.\\
 +При лексикографической записи многочлена //​f(x<​sub>​1</​sub>,​ x<​sub>​2</​sub>,​ ..., x<​sub>​n</​sub>​)//​ один из его членов будет стоять на первом месте, т.е. будет выше других. Этот член называется //​высшим членом многочлена//;​ в предшествующем примере высшим членом будет //​x<​sub>​1</​sub><​sup>​4</​sup>//​.
 +
 +__//​Литература//​__\\
 +Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение,​ 1980.\\
others/operacii_nad_mnogochlenami._leksikograficheskoe_raspolozhenie_chlenov_mnogochlena.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)