Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

others:operacii_nad_mnogochlenami._leksikograficheskoe_raspolozhenie_chlenov_mnogochlena

Операции над многочленами. Лексикографическое расположение членов многочлена

Для многочленов от n неизвестных над полем P следующим образом определяются операции сложения и умножения.

Суммой многочленов f(x1, x2, …, xn) и g(x1, x2, …, xn) называется многочлен, коэффициенты которого получаются сложением соответственных коэффициентов многочленов f и g; если при этом некоторый член входит лишь в один из многочленов f, g, то коэффициент при нем в другом многочлене считается, понятно, равным нулю.

Произведение двух «одночленов» определяется следующим равенством:

ax1k1x2k2…xnknbx1l1x2l2…xnln = (ab)x1k1+l1x2k2+l2…xnkn+ln,

после чего произведение многочленов f(x1, x2, …, xn) и g(x1, x2, …, xn) определяется как результат почленного перемножения и последующего приведения подобных членов.
Степень произведения двух отличных от нуля многочленов от n неизвестных равна сумме степеней этих многочленов.

Лексикографическое расположение членов многочлена

Для многочленов от одного неизвестного мы имеем два естественных способа расположения членов - по убывающим и по возрастающим степеням неизвестного. В случае многочленов от нескольких неизвестных такие способы уже отсутствуют: если дан многочлен пятой степени от трех неизвестных

f(x1, x2, x3) = x1x22x32 + x14x3 + x23x32 + x12x2x32,

то его можно было бы записать и в виде

f(x1, x2, x3) = x14x3 + x12x2x32 + x1x22x32 + x23x32,

и нет оснований одну из этих записей предпочесть другой. Существует, однако, способ вполне определенного расположения членов многочлена от нескольких неизвестных, зависящий, впрочем, от выбора нумерации неизвестных; для многочленов от одного неизвестного он приводит к расположению членов по убывающим степеням неизвестного. Этот способ, называемый лексикографическим, подсказан обычным приемом расположения слов в словарях: считая буквы упорядоченными так, как это принято в алфавите, мы определяем взаимное положение двух данных слов в словаре по их первым буквам, если же эти буквы совпадают, то по вторым буквам и т.д.

Пусть дан многочлен f(x1, x2, …, xn) и в нем два различных члена:

x1k1x2k2…xnkn, (1)
x1l1x2l2…xnln, (2)

коэффициенты которых являются некоторыми отличными от нуля элементами из P. Так как члены (1) и (2) различны, то хотя бы одна из разностей показателей при неизвестных
ki - li, i = 1,2,…,n,
отлична от нуля. Член (1) будет будет считаться выше члена (2), если первая из этих разностей, отличная от нуля, положительна, т.е. если существует такое i, 1 ≤ i ≤ n, что
k1 = l1, k2 = l2, …, ki-1 = li-1, но ki > li.
Иными словами, член (1) будет выше члена (2), если показатель при x1 в (1) больше, чем в (2), или если эти показатели равны, но показатель при x2 в (1) больше, чем в (2), и т.д. Легко видеть, что из того, что член (1) выше члена (2), не следует, что степень первого по совокупности неизвестных больше степени второго: из членов
x13x2x3, x1x25x32
первый выше, хотя имеет меньшую степень.
Так, многочлен

f(x1, x2, x3, x4) = x14 + 3x12x23x3 - x12x23x42 + 5x1x3x42 + 2x2 + x33x4 - 4

расположен лексикографически.
При лексикографической записи многочлена f(x1, x2, …, xn) один из его членов будет стоять на первом месте, т.е. будет выше других. Этот член называется высшим членом многочлена; в предшествующем примере высшим членом будет x14.

Литература
Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980.

others/operacii_nad_mnogochlenami._leksikograficheskoe_raspolozhenie_chlenov_mnogochlena.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)