Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

others:operacii_nad_mnogochlenami

Операции над многочленами

Многочлены можно складывать, вычитать и умножать по обычным правилам раскрытия скобок и приведения подобных членов. При этом в результате снова получается многочлен. Указанные операции обладают известными свойствами:

  • f(x) + g(x) = g(x) + f(x),
  • f(x) + (g(x) + h(x)) = (f(x) + g(x)) + h(x),
  • f(x)g(x) = g(x)f(x),
  • f(x)(g(x)h(x)) = (f(x)g(x))h(x),
  • f(x)(g(x) + h(x)) = f(x)g(x) + f(x)h(x).

Пусть даны два многочлена f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0, an≠0 и g(x) = bmxm + bm-1xm-1 + … + b1x + b0, bm≠0.
Ясно, что ст. f(x)=n, а ст. g(x)=m. Если перемножить эти два многочлена, получится многочлен вида:
f(x)g(x) = anbmxm+n + … + a0b0.
Так как an≠0 и bm≠0, то anbm≠0, а значит, ст. (f(x)g(x)) = m + n. Отсюда следует важное утверждение.
Степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме степеней сомножителей, или ст. (f(x)g(x)) = ст. f(x) + ст. g(x).

Старший член (коэффициент) произведения двух ненулевых многочленов равен произведению старших членов (коэффициентов) сомножителей.
Свободный член произведения двух многочленов равен произведению свободных членов сомножителей.

Суперпозицией многочленов f(x) и g(x) называется многочлен, обозначаемый f(g(x)), который получается если в многочлене f(x) вместо x подставить многочлен g(x).
Например, если: f(x) = x2 + 2x - 1 и g(x) = 2x + 3, то
f(g(x)) = f(2x + 3) = (2x + 3)2 + 2(2x + 3) - 1 = 4x2 + 16x + 14;
g(f(x)) = g(x2 + 2x - 1) = 2(x2 + 2x - 1) + 3 = 2x2 + 4x + 1.
Видно, что f(g(x))≠g(f(x)), т.е. суперпозиция многочленов f(x), g(x) и суперпозиция многочленов g(x), f(x) различны. Таким образом, операция суперпозиции не обладает свойством переместительности.

Литература
В. В. Прасолов. Многочлены. — МЦНМО, 2003.

others/operacii_nad_mnogochlenami.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)