Инструменты пользователя

Инструменты сайта


others:odnorodnye_i_simmetricheskie_mnogochleny

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

others:odnorodnye_i_simmetricheskie_mnogochleny [2014/11/27 09:06] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +====== Однородные и симметрические многочлены ======
 +Если все члены многочлена //​f(x<​sub>​1</​sub>,​ x<​sub>​2</​sub>,​ ..., x<​sub>​n</​sub>​)//​ имеют одну и ту же степень //s//, то такой многочлен называется **однородным** многочленом или //​формой s//-й степени. Однородный полином нулевого порядка очевидно является константой. Однородный полином первого,​ второго или третьего порядков называют также, соответственно,​ линейной,​ квадратичной или кубической формой.\\
 +Пример:​\\
 +//x + 2y - z, x<​sup>​2</​sup>​ - xy + y<​sup>​2</​sup>,​ x<​sup>​2</​sup>​y<​sup>​2</​sup>​ + x<​sup>​4</​sup>​ + y<​sup>​4</​sup>​ - 2x<​sup>​2</​sup>​yz//​\\
 +- формы, соответственно,​ линейная,​ квадратичная и четвертого порядка.\\
  
 +Среди многочленов от нескольких неизвестных выделяются те, которые не меняются ни при какой перестановке неизвестных. В такие многочлены все неизвестные входят,​ следовательно,​ вполне симметричным образом,​ и поэтому эти многочлены называются **симметрическими многочленами**.\\
 +Простейшими примерами будут: сумма всех неизвестных //​x<​sub>​1</​sub>​ + x<​sub>​2</​sub>​ + ... + x<​sub>​n</​sub>//,​ сумма квадратов //​x<​sub>​1</​sub><​sup>​2</​sup>​ + x<​sub>​2</​sub><​sup>​2</​sup>​ + ... + x<​sub>​n</​sub><​sup>​2</​sup>//​ и т.д.
 +
 +Следующие //n// симметрических многочленов от //n// неизвестных называются //​элементарными симметрическими многочленами//:​\\
 +//​σ<​sub>​1</​sub>​ = x<​sub>​1</​sub>​ + x<​sub>​2</​sub>​ + ... + x<​sub>​n</​sub>,​\\
 +σ<​sub>​2</​sub>​ = x<​sub>​1</​sub>​x<​sub>​2</​sub>​ + x<​sub>​1</​sub>​x<​sub>​3</​sub>​ + ... + x<​sub>​n-1</​sub>​x<​sub>​n</​sub>,​\\
 +σ<​sub>​3</​sub>​ = x<​sub>​1</​sub>​x<​sub>​2</​sub>​x<​sub>​3</​sub>​ + x<​sub>​1</​sub>​x<​sub>​2</​sub>​x<​sub>​4</​sub>​ + ... + x<​sub>​n-2</​sub>​x<​sub>​n-1</​sub>​x<​sub>​n</​sub>,​\\
 +.....\\
 +σ<​sub>​n-1</​sub>​ = x<​sub>​1</​sub>​x<​sub>​2</​sub>​...x<​sub>​n-1</​sub>​ + x<​sub>​1</​sub>​x<​sub>​2</​sub>​...x<​sub>​n-2</​sub>​x<​sub>​n</​sub>​ + ... + x<​sub>​2</​sub>​x<​sub>​3</​sub>​...x<​sub>​n</​sub>,​\\
 +σ<​sub>​n</​sub>​ = x<​sub>​1</​sub>​x<​sub>​2</​sub>​...x<​sub>​n</​sub>//​.\\
 +
 +Всякий симметрический многочлен от неизвестных //​x<​sub>​1</​sub>,​ x<​sub>​2</​sub>,​ ..., x<​sub>​n</​sub>//​ над полем //P// является многочленом от элементарных симметрических многочленов //​σ<​sub>​1</​sub>,​ σ<​sub>​2</​sub>,​ ..., σ<​sub>​n</​sub>//​ с коэффициентами,​ принадлежащими к полю //P//.\\
 +
 +Всякий симметрический многочлен обладает лишь единственным выражением в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.
 +
 +__//​Литература//​__\\
 +Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. - 1979.
others/odnorodnye_i_simmetricheskie_mnogochleny.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)