Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

others:odnorodnye_i_simmetricheskie_mnogochleny

Однородные и симметрические многочлены

Если все члены многочлена f(x1, x2, …, xn) имеют одну и ту же степень s, то такой многочлен называется однородным многочленом или формой s-й степени. Однородный полином нулевого порядка очевидно является константой. Однородный полином первого, второго или третьего порядков называют также, соответственно, линейной, квадратичной или кубической формой.
Пример:
x + 2y - z, x2 - xy + y2, x2y2 + x4 + y4 - 2x2yz
- формы, соответственно, линейная, квадратичная и четвертого порядка.

Среди многочленов от нескольких неизвестных выделяются те, которые не меняются ни при какой перестановке неизвестных. В такие многочлены все неизвестные входят, следовательно, вполне симметричным образом, и поэтому эти многочлены называются симметрическими многочленами.
Простейшими примерами будут: сумма всех неизвестных x1 + x2 + … + xn, сумма квадратов x12 + x22 + … + xn2 и т.д.

Следующие n симметрических многочленов от n неизвестных называются элементарными симметрическими многочленами:
σ1 = x1 + x2 + … + xn,
σ2 = x1x2 + x1x3 + … + xn-1xn,
σ3 = x1x2x3 + x1x2x4 + … + xn-2xn-1xn,
…..
σn-1 = x1x2…xn-1 + x1x2…xn-2xn + … + x2x3…xn,
σn = x1x2…xn
.

Всякий симметрический многочлен от неизвестных x1, x2, …, xn над полем P является многочленом от элементарных симметрических многочленов σ1, σ2, …, σn с коэффициентами, принадлежащими к полю P.

Всякий симметрический многочлен обладает лишь единственным выражением в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.

Литература
Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. - 1979.

others/odnorodnye_i_simmetricheskie_mnogochleny.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)