Инструменты пользователя

Инструменты сайта


others:mnogochleny_nad_polem_racionalnyx_chisel

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

others:mnogochleny_nad_polem_racionalnyx_chisel [2014/11/27 09:06] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +====== Многочлены над полем рациональных чисел ======
 +**Теорема**. Пусть //m// и //q// - целые взаимно простые числа и //q ≠ 0//. Если //m/q// - корень полинома //​a<​sub>​0</​sub>​ + a<​sub>​1</​sub>​x + ... + a<​sub>​n</​sub>​x<​sup>​n</​sup>//​ с целыми коэффициентами,​ то //m// делит //​a<​sub>​0</​sub>//​ и //q// делит //​a<​sub>​n</​sub>//​.\\
  
 +//​Доказательство//​. По условию,​\\
 +
 +
 +//​a<​sub>​0</​sub>​ + a<​sub>​1</​sub>​(m/​q) + ... + a<​sub>​n-1</​sub>​(m/​q)<​sup>​n-1</​sup>​ + a<​sub>​n</​sub>​(m/​q)<​sup>​n</​sup>​ = 0//.\\
 +
 +Умножив обе части равенства на //​q<​sup>​n</​sup>//,​ получим\\
 +
 +//​a<​sub>​0</​sub>​q<​sup>​n</​sup>​ + a<​sub>​1</​sub>​mq<​sup>​n-1</​sup>​ + ... + a<​sub>​n-1</​sub>​m<​sup>​n-1</​sup>​q + a<​sub>​n</​sub>​m<​sup>​n</​sup>​ = 0//. **(1)**\\
 +
 +На основании равенства (1) заключаем,​ что //m// делит //​a<​sub>​0</​sub>​q<​sup>​n</​sup>//​. А так как числа //m// и //q// - взаимно простые,​ то взаимно простыми будут числа //m// и //​q<​sup>​n</​sup>//​. Следовательно,​ //m// делит //​a<​sub>​0</​sub>//​.\\
 +В силу (1) //q// делит //​a<​sub>​n</​sub>​m<​sup>​n</​sup>//​. Кроме того, числа //q// и //​m<​sup>​n</​sup>//​ - взаимно простые,​ так как, по условию,​ числа //q// и //m// - взаимно простые. Следовательно,​ //q// делит //​a<​sub>​n</​sub>//​.
 +
 +//​Следствие//​. Рациональный корень нормированного полинома //​a<​sub>​0</​sub>​ + a<​sub>​1</​sub>​x + ... + a<​sub>​n</​sub>​x<​sup>​n</​sup>//​ с целыми коэффициентами является целым числом.\\
 +
 +Пусть //f// - полином из кольца полиномов //Z[x]//. Если полином //f// приводим ​ в кольце //Q[x]//, то он приводим в кольце //Z[x]//.\\
 +
 +Пусть //f = c<​sub>​0</​sub>​ + c<​sub>​1</​sub>​x + ... + c<​sub>​n</​sub>​x<​sup>​n</​sup>//​ - полином с целыми коэффициентами. Пусть все коэффициенты полинома //f//, кроме старшего,​ делятся на какое-нибудь простое число //p// и свободный член //​c<​sub>​0</​sub>//​ не делится на //​p<​sup>​2</​sup>//​. Тогда полином //f// неприводим в кольце //Q[x]//.\\
 +
 +Если //p// - простое число и //n// - любое целое положительное число, то полином //​x<​sup>​n</​sup>​ - p// неприводим в кольце //Q[x]//.
 +
 +__//​Литература//​__\\
 +Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. - М., Просвещение,​ 1980.\\
 +Прасолов В. В. Многочлены. — 3-е изд, исправленное. — М.: МЦНМО, 2003.
others/mnogochleny_nad_polem_racionalnyx_chisel.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)