Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

others:mnogochleny_nad_polem_racionalnyx_chisel

Многочлены над полем рациональных чисел

Теорема. Пусть m и q - целые взаимно простые числа и q ≠ 0. Если m/q - корень полинома a0 + a1x + … + anxn с целыми коэффициентами, то m делит a0 и q делит an.

Доказательство. По условию,

a0 + a1(m/q) + … + an-1(m/q)n-1 + an(m/q)n = 0.

Умножив обе части равенства на qn, получим

a0qn + a1mqn-1 + … + an-1mn-1q + anmn = 0. (1)

На основании равенства (1) заключаем, что m делит a0qn. А так как числа m и q - взаимно простые, то взаимно простыми будут числа m и qn. Следовательно, m делит a0.
В силу (1) q делит anmn. Кроме того, числа q и mn - взаимно простые, так как, по условию, числа q и m - взаимно простые. Следовательно, q делит an.

Следствие. Рациональный корень нормированного полинома a0 + a1x + … + anxn с целыми коэффициентами является целым числом.

Пусть f - полином из кольца полиномов Z[x]. Если полином f приводим в кольце Q[x], то он приводим в кольце Z[x].

Пусть f = c0 + c1x + … + cnxn - полином с целыми коэффициентами. Пусть все коэффициенты полинома f, кроме старшего, делятся на какое-нибудь простое число p и свободный член c0 не делится на p2. Тогда полином f неприводим в кольце Q[x].

Если p - простое число и n - любое целое положительное число, то полином xn - p неприводим в кольце Q[x].

Литература
Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. - М., Просвещение, 1980.
Прасолов В. В. Многочлены. — 3-е изд, исправленное. — М.: МЦНМО, 2003.

others/mnogochleny_nad_polem_racionalnyx_chisel.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)