Инструменты пользователя

Инструменты сайта


others:mnogochleny_nad_polem_kompleksnyx_chisel

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

others:mnogochleny_nad_polem_kompleksnyx_chisel [2014/11/27 09:06] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +====== Многочлены над полем комплексных чисел ======
 +===== Непрерывность модуля полинома =====
 +Пусть //f// - полином от //z// над полем комплексных чисел.\\
 +Отображение //z → |f(z)|//, определенное на множестве //C// всех комплексных чисел, есть действительная функция комплексной переменной. Ее мы будем называть //​модулем полинома f// и обозначать символом //|f|//.\\
  
 +**Теорема.** Пусть //f// - любой полином из //C[z]//. Модуль полинома //f// является непрерывной функцией на множестве //C//.\\
 +
 +//​Доказательство.//​ Покажем,​ что для всякого положительного //ε// найдется такое положительное //δ//, что для всякого комплексного числа //z//, если //|z - a| < δ//, то //||f(z)| - |f(a)|| < ε//.\\
 +Теорема,​ очевидно,​ верна, если полином //f// нулевой или имеет нулевую степень. Предположим,​ что полином //f// имеет положительную степень //n//.\\
 +Разложим //f// по степеням разности //z - a//:\\
 +
 +//f(z) = c<​sub>​0</​sub>​ + c<​sub>​1</​sub>​(z - a) + ... + c<​sub>​n</​sub>​(z - a)<​sup>​n</​sup>//,​ где //​c<​sub>​n</​sub>​≠0//​.\\
 +
 +Поскольку //f(a) = c<​sub>​0</​sub>//,​ то\\
 +
 +//f(z) - f(a) = c<​sub>​1</​sub>​(z - a) + ... + c<​sub>​n</​sub>​(z - a)<​sup>​n</​sup>//​\\
 +
 +и получаем неравенство\\
 +
 +//|f(z) - f(a)| ≤ |c<​sub>​1</​sub>​||z - a| + ... + |c<​sub>​n</​sub>​||z - a|<​sup>​n</​sup>// ​ **(1)**\\
 +
 +Положим //b = max {|c<​sub>​1</​sub>​|,​ ..., |c<​sub>​n</​sub>​|}//;​ так как //​c<​sub>​n</​sub>​≠0//,​ то //b≠0//. Легко видеть,​ что при //k ≥ 1//\\
 +
 +//|z - a|<​sup>​k</​sup>​ ≤ |z - a|//, если //|z - a| ≤ 1// **(2)**\\
 +
 +В силу (1) и (2) имеем //|f(z) - f(a)| ≤ nb|z - a|//.\\
 +Кроме того, для любого //ε > 0//\\
 +
 +//nb|z - a| < ε//, если //|z - a| < ε/nb//.\\
 +
 +Каждому числу //ε// поставим в соответствие положительное число //δ = min{ε/nb, 1}//.\\
 +Тогда //|f(z) - f(a)| < ε//, если //|z - a| < δ//. Кроме того, для любого комплексного числа //z//\\
 +
 +//||f(z)| - |f(a)|| ≤ |f(z) - f(a)|//.\\
 +
 +Следовательно,​ для любого //ε > 0// можно найти такое //δ > 0//, что для всякого //z// из //C//\\
 +
 +//||f(z)| - |f(a)|| < ε//, если //|z - a| < δ//.\\
 +===== Наименьшее значение модуля полинома =====
 +Ниже будет нужна теорема Больцано - Вейерштрасса:​ всякая бесконечная последовательность //<​z<​sub>​n</​sub>>//​ точек круга //|z| ≤ r// (где //r// - фиксированное положительное действительное число) обладает подпоследовательностью,​ сходящейся к некоторой точке этого круга.\\
 +
 +**Теорема**. Пусть //f// - полином из //C[z]//, //r// - положительное действительное число и //m = inf|f(z)|//​. Тогда существует такое комплексное число //a//, что //|f(a)| = m// и //|a| ≤ r//.\\
 +
 +//​Доказательство//​. Пусть //<​ε<​sub>​n</​sub>>//​ - последовательность положительных действительных чисел, сходящаяся к нулю. Так как //m = inf|f(z)|//,​ то для каждого члена //​ε<​sub>​n</​sub>//​ последовательности существует такое //​z<​sub>​n</​sub>//,​ что\\
 +
 +//m ≤ |f(z<​sub>​n</​sub>​)| ≤ m + ε<​sub>​n</​sub>//,​ //​|z<​sub>​n</​sub>​| ≤ r//. **(1)**\\
 +
 +Поэтому последовательность //<​|f(z<​sub>​n</​sub>​)|>//​ сходится к //m//:\\
 +
 +<​m>​lim{n right ∞}{|f(z_n)|} = m</​m>​. **(2)**\\
 +
 +В силу (1) все элементы последовательности //<​z<​sub>​n</​sub>>//​ принадлежат кругу //|z| ≤ r//. Эта последовательность обладает подпоследовательностью //<​x<​sub>​n</​sub>>//,​ сходящейся к некоторой точке //a// круга //|z| ≤ r//, т.е. \\
 +
 +<​m>​lim{n right ∞}{x_n} = a</​m>,​ |a| ≤ r. **(3)**\\
 +
 +Из (3) следует,​ что\\
 +
 +<​m>​lim{n right ∞}{|f(x_n)|} = |f(a)|</​m>​. **(4)**\\
 +
 +Так как //<​|f(x<​sub>​n</​sub>​)|>//​ есть подпоследовательность последовательности //<​f(z<​sub>​n</​sub>​)>//,​ которая сходится к //m//, то\\
 +
 +<​m>​lim{n right ∞}{|f(x_n)|} = m</​m>​. **(5)**\\
 +
 +На основании (3), (4) и (5) заключаем,​ что //|f(a)| = m// и //|a| ≤ r.//
 +
 +**Теорема**. Модуль любого полинома //f// из //C[z]// достигает своего наименьшего значения на множестве //C//.\\
 +
 +//​Доказательство//​. Теорема,​ очевидно,​ верна, если //deg f = 0// или //f(0) = 0//. Поэтому предположим,​ что //deg f ≥ 1// и //f(0) ≠ 0//. Положим //M = |f(0)|//.\\
 +
 +//(∃ r > 0)(∀ z ∈ C)(|z| ≥ r → |f(z)| ≥ M)//. **(1)**\\
 +
 +Пусть //K = {z ∈ C | |z| ≤ r}//. Тогда //|f|// достигает наименьшего значения в круге //K//, т.е. существует число //a// такое, что\\
 +
 +//|f(a)| ≤ |f(z)|//, **(2)**\\
 +если //|z| ≤ r//, в частности\\
 +//|f(a)| ≤ |f(0)| = M//. **(3)**\\
 +
 +На основании (1) и (3) заключаем,​ что\\
 +
 +//|f(a)| ≤ |f(z)|//, если //|z| ≥ r//. **(4)**\\
 +
 +В силу (2) и (4) имеем //(∀ z ∈ C)(|f(a)| ≤ |f(z)|)//. Таким образом,​ //|f|// достигает на множестве //C// наименьшего значения в точке //a//.
 +
 +__//​Литература//​__\\
 +Глухов М.М., Нечаев А.А., Елизаров В.П. Алгебра:​ Учебник для вузов. - Гелиос,​ 2003.\\
 +Курош А.Г. Курс высшей алгебры - Учебник,​ 1968.
others/mnogochleny_nad_polem_kompleksnyx_chisel.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)