Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

others:mnogochleny_nad_polem_kompleksnyx_chisel

Многочлены над полем комплексных чисел

Непрерывность модуля полинома

Пусть f - полином от z над полем комплексных чисел.
Отображение z → |f(z)|, определенное на множестве C всех комплексных чисел, есть действительная функция комплексной переменной. Ее мы будем называть модулем полинома f и обозначать символом |f|.

Теорема. Пусть f - любой полином из C[z]. Модуль полинома f является непрерывной функцией на множестве C.

Доказательство. Покажем, что для всякого положительного ε найдется такое положительное δ, что для всякого комплексного числа z, если |z - a| < δ, то ||f(z)| - |f(a)|| < ε.
Теорема, очевидно, верна, если полином f нулевой или имеет нулевую степень. Предположим, что полином f имеет положительную степень n.
Разложим f по степеням разности z - a:

f(z) = c0 + c1(z - a) + … + cn(z - a)n, где cn≠0.

Поскольку f(a) = c0, то

f(z) - f(a) = c1(z - a) + … + cn(z - a)n

и получаем неравенство

|f(z) - f(a)| ≤ |c1||z - a| + … + |cn||z - a|n (1)

Положим b = max {|c1|, …, |cn|}; так как cn≠0, то b≠0. Легко видеть, что при k ≥ 1

|z - a|k ≤ |z - a|, если |z - a| ≤ 1 (2)

В силу (1) и (2) имеем |f(z) - f(a)| ≤ nb|z - a|.
Кроме того, для любого ε > 0

nb|z - a| < ε, если |z - a| < ε/nb.

Каждому числу ε поставим в соответствие положительное число δ = min{ε/nb, 1}.
Тогда |f(z) - f(a)| < ε, если |z - a| < δ. Кроме того, для любого комплексного числа z

||f(z)| - |f(a)|| ≤ |f(z) - f(a)|.

Следовательно, для любого ε > 0 можно найти такое δ > 0, что для всякого z из C

||f(z)| - |f(a)|| < ε, если |z - a| < δ.

Наименьшее значение модуля полинома

Ниже будет нужна теорема Больцано - Вейерштрасса: всякая бесконечная последовательность <zn> точек круга |z| ≤ r (где r - фиксированное положительное действительное число) обладает подпоследовательностью, сходящейся к некоторой точке этого круга.

Теорема. Пусть f - полином из C[z], r - положительное действительное число и m = inf|f(z)|. Тогда существует такое комплексное число a, что |f(a)| = m и |a| ≤ r.

Доказательство. Пусть n> - последовательность положительных действительных чисел, сходящаяся к нулю. Так как m = inf|f(z)|, то для каждого члена εn последовательности существует такое zn, что

m ≤ |f(zn)| ≤ m + εn, |zn| ≤ r. (1)

Поэтому последовательность <|f(zn)|> сходится к m:

<m>lim{n right ∞}{|f(z_n)|} = m</m>. (2)

В силу (1) все элементы последовательности <zn> принадлежат кругу |z| ≤ r. Эта последовательность обладает подпоследовательностью <xn>, сходящейся к некоторой точке a круга |z| ≤ r, т.е.

<m>lim{n right ∞}{x_n} = a</m>, |a| ≤ r. (3)

Из (3) следует, что

<m>lim{n right ∞}{|f(x_n)|} = |f(a)|</m>. (4)

Так как <|f(xn)|> есть подпоследовательность последовательности <f(zn)>, которая сходится к m, то

<m>lim{n right ∞}{|f(x_n)|} = m</m>. (5)

На основании (3), (4) и (5) заключаем, что |f(a)| = m и |a| ≤ r.

Теорема. Модуль любого полинома f из C[z] достигает своего наименьшего значения на множестве C.

Доказательство. Теорема, очевидно, верна, если deg f = 0 или f(0) = 0. Поэтому предположим, что deg f ≥ 1 и f(0) ≠ 0. Положим M = |f(0)|.

(∃ r > 0)(∀ z ∈ C)(|z| ≥ r → |f(z)| ≥ M). (1)

Пусть K = {z ∈ C | |z| ≤ r}. Тогда |f| достигает наименьшего значения в круге K, т.е. существует число a такое, что

|f(a)| ≤ |f(z)|, (2)
если |z| ≤ r, в частности
|f(a)| ≤ |f(0)| = M. (3)

На основании (1) и (3) заключаем, что

|f(a)| ≤ |f(z)|, если |z| ≥ r. (4)

В силу (2) и (4) имеем (∀ z ∈ C)(|f(a)| ≤ |f(z)|). Таким образом, |f| достигает на множестве C наименьшего значения в точке a.

Литература
Глухов М.М., Нечаев А.А., Елизаров В.П. Алгебра: Учебник для вузов. - Гелиос, 2003.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры - Учебник, 1968.

others/mnogochleny_nad_polem_kompleksnyx_chisel.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)