Инструменты пользователя

Инструменты сайта


others:mnogochleny_nad_polem_dejstvitelnyx_chisel

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

others:mnogochleny_nad_polem_dejstvitelnyx_chisel [2014/11/27 09:06] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +====== Многочлены над полем действительных чисел ======
 +===== Сопряженность мнимых корней полинома с действительными коэффициентами =====
 +Пусть //R[x]// - кольцо полиномов над полем действительных чисел //R//.\\
 +Напомним,​ что комплексное число //a + bi//, где //a//, //b// ∈ //R//, называется мнимым,​ если //b ≠ 0//. Если α = //a + bi//, то через <​m>​overline{alpha}</​m>​ будем обозначать сопряженное комплексное число //a - bi//.\\
  
 +Если //f// - полином из кольца //R[x]// и α - произвольное комплексное число, то <​m>​f(overline{alpha}) = overline{f(alpha)}</​m>​.\\
 +
 +**Теорема**. Пусть //f// - произвольный полином из кольца //R[x]//. Если //a + bi// - мнимый корень полинома //f//, то //a - bi// также является корнем этого полинома.
 +
 +//​Доказательство//​. Пусть //a + bi// - мнимый корень полинома,​ т.е. //f(a + bi) = 0//. Тогда\\
 +
 +<​m>​f(a - bi) = f overline{(a + bi)} = overline{f(a + bi)} = overline{0} = 0</​m>,​\\
 +т.е. f(a - bi) = 0.\\
 +
 +===== Неприводимые над полем действительных чисел полиномы =====
 +**Теорема**. Пусть //f// - полином,​ степень которого больше единицы,​ неприводимый над полем действительных чисел //R//. Тогда существуют такие //a//, //b// ∈ //R//, что //b ≠ 0// и полином //f// ассоциирован с полиномом //(x - a)<​sup>​2</​sup>​ + b<​sup>​2</​sup>//​.\\
 +
 +//​Доказательство//​. Пусть //a + bi// - корень полинома //f//, где //a//, //b// ∈ //R//. Если //b = 0//, то //x - a// делит //f//, что противоречит условию неприводимости //f// над //R//. Следовательно,​ //b ≠ 0//. Применим к полиномам //f// и //(x - a)<​sup>​2</​sup>​ + b<​sup>​2</​sup>//​ теорему о делении с остатком. Согласно этой теореме,​ в кольце //R[x]// существуют полиномы //q(x)// и //cx + d// такие, что\\
 +
 +//f(x) = q(x)[(x - a)<​sup>​2</​sup>​ + b<​sup>​2</​sup>​] + (cx + d), c, d, ∈ R//.\\
 +
 +Полагая в этом равенстве //x = a + bi// получаем\\
 +
 +//f(a + bi) = c(a + bi) + d = 0, (ca + d) + bci = 0//.\\
 +
 +Отсюда вытекает,​ что //ca + d = 0//, //bc = 0//. Так как //b ≠ 0//, то //c = 0// и //d = 0//. Таким образом,​ \\
 +
 +//f(x) = q(x)[(x - a)<​sup>​2</​sup>​ + b<​sup>​2</​sup>​]//​.\\
 +
 +Поскольку,​ по условию,​ полином //f// неприводим над //R//, то степень полинома //q(x)// равна нулю. Следовательно,​ полином //f// ассоциирован с полиномом //(x - a)<​sup>​2</​sup>​ + b<​sup>​2</​sup>//​.\\
 +
 +//​Следствие//​. В кольце //R[x]// неприводимы только полиномы первой степени и полиномы второй степени,​ ассоциированные с полиномами вида //(x - a)<​sup>​2</​sup>​ + b<​sup>​2</​sup>//,​ где //a//, //b// - любые действительные числа и //b ≠ 0//.\\
 +
 +//​Следствие//​. Любой полином с действительными коэффициентами имеет четное число мнимых корней.\\
 +
 +//​Следствие//​. Полином нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.\\
 +
 +//​Следствие//​. Пусть //f// - полином степени //n// из //R[x]//. Четность числа действительных корней полинома //f// совпадает с четностью числа //n//.
 +
 +__//​Литература//​__\\
 +Числа и многочлены/​Сост. А.А. Егоров. - М., Бюро Квантум,​ 2000.
others/mnogochleny_nad_polem_dejstvitelnyx_chisel.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)