Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

others:mnogochleny_nad_polem_dejstvitelnyx_chisel

Многочлены над полем действительных чисел

Сопряженность мнимых корней полинома с действительными коэффициентами

Пусть R[x] - кольцо полиномов над полем действительных чисел R.
Напомним, что комплексное число a + bi, где a, bR, называется мнимым, если b ≠ 0. Если α = a + bi, то через <m>overline{alpha}</m> будем обозначать сопряженное комплексное число a - bi.

Если f - полином из кольца R[x] и α - произвольное комплексное число, то <m>f(overline{alpha}) = overline{f(alpha)}</m>.

Теорема. Пусть f - произвольный полином из кольца R[x]. Если a + bi - мнимый корень полинома f, то a - bi также является корнем этого полинома.

Доказательство. Пусть a + bi - мнимый корень полинома, т.е. f(a + bi) = 0. Тогда

<m>f(a - bi) = f overline{(a + bi)} = overline{f(a + bi)} = overline{0} = 0</m>,
т.е. f(a - bi) = 0.

Неприводимые над полем действительных чисел полиномы

Теорема. Пусть f - полином, степень которого больше единицы, неприводимый над полем действительных чисел R. Тогда существуют такие a, bR, что b ≠ 0 и полином f ассоциирован с полиномом (x - a)2 + b2.

Доказательство. Пусть a + bi - корень полинома f, где a, bR. Если b = 0, то x - a делит f, что противоречит условию неприводимости f над R. Следовательно, b ≠ 0. Применим к полиномам f и (x - a)2 + b2 теорему о делении с остатком. Согласно этой теореме, в кольце R[x] существуют полиномы q(x) и cx + d такие, что

f(x) = q(x)[(x - a)2 + b2] + (cx + d), c, d, ∈ R.

Полагая в этом равенстве x = a + bi получаем

f(a + bi) = c(a + bi) + d = 0, (ca + d) + bci = 0.

Отсюда вытекает, что ca + d = 0, bc = 0. Так как b ≠ 0, то c = 0 и d = 0. Таким образом,

f(x) = q(x)[(x - a)2 + b2].

Поскольку, по условию, полином f неприводим над R, то степень полинома q(x) равна нулю. Следовательно, полином f ассоциирован с полиномом (x - a)2 + b2.

Следствие. В кольце R[x] неприводимы только полиномы первой степени и полиномы второй степени, ассоциированные с полиномами вида (x - a)2 + b2, где a, b - любые действительные числа и b ≠ 0.

Следствие. Любой полином с действительными коэффициентами имеет четное число мнимых корней.

Следствие. Полином нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.

Следствие. Пусть f - полином степени n из R[x]. Четность числа действительных корней полинома f совпадает с четностью числа n.

Литература
Числа и многочлены/Сост. А.А. Егоров. - М., Бюро Квантум, 2000.

others/mnogochleny_nad_polem_dejstvitelnyx_chisel.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)