Инструменты пользователя

Инструменты сайта


others:metod_gaussa

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

others:metod_gaussa [2014/11/27 09:06] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +====== Метод Гаусса ======
 +**Метод Гаусса** — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения переменных,​ когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно,​ начиная с последних (по номеру) переменных,​ находятся все остальные переменные.\\
 +===== Описание метода =====
 +Пусть исходная система выглядит следующим образом:​\\
  
 +{{:​mg1.png?​800}}\\
 +
 +Матрица //А// называется основной матрицей системы,​ //b// — столбцом свободных членов.\\
 +Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):​\\
 +
 +{{:​mg2.png?​600}}\\
 +
 +При этом будем считать,​ что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных x<​sub>​j1</​sub>,​ ..., x<​sub>​jr</​sub>​.\\
 +Тогда переменные x<​sub>​j1</​sub>,​ ..., x<​sub>​jr</​sub>​ называются главными переменными. Все остальные называются свободными.\\
 +Если хотя бы одно число {{:​mg3.png?​40}},​ где //i>r//, то рассматриваемая система несовместна.\\
 +Пусть {{:​mg4.png?​40}} для любых //​i>​r//​.\\
 +Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом //​x//​({{:​mg5.png?​100}},​ где //i// — номер строки):​\\
 +
 +{{:​mg6.png?​700}}\\
 +
 +где //i=1, ..., r//, //k=i+1, ..., n//\\
 +Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему),​ то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны,​ то есть множества их решений совпадают.\\
 +<​note>​**Следствия:​**\\
 +1. Если в совместной системе все переменные главные,​ то такая система является определённой.\\
 +2. Если количество переменных в системе превосходит число уравнений,​ то такая система является либо неопределённой,​ либо несовместной.</​note>​\\
 +===== Алгоритм =====
 +Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.\\
 +  *На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают,​ что система несовместна. А именно,​ среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой,​ перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину,​ равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки,​ обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены,​ первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой,​ то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.\\
 +  *На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений,​ либо, если все переменные являются базисными,​ то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения,​ из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения,​ и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная,​ поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего),​ ситуация в точности повторяет случай последней строки.\\
 +===== Пример =====
 +Покажем,​ как методом Гаусса можно решить следующую систему:​\\
 +
 +{{:​mg7.png?​200}}\\
 +
 +Обнулим коэффициенты при //x// во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них первую строчку,​ умноженную на -3/2 и -1, соответственно:​\\
 +
 +{{:​mg8.png?​200|}}\\
 +
 +Теперь обнулим коэффициент при //y// в третьей строке,​ вычтя из неё вторую строку,​ умноженную на 4:\\
 +
 +{{:​mg9.png?​200|}}\\
 +
 +В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.\\
 +На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:​\\
 +z=-1 из третьего;​\\
 +y=3 из второго,​ подставив полученное z;\\
 +x=2 из первого,​ подставив полученные y и z.\\
 +Таким образом исходная система решена.\\
 +
 +__//​Литература//​__\\
 +Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра:​ Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ,​ 2004.\\
 +Волков Е.А. Численные методы. — М.: Физматлит,​ 2003.\\
 +Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н. Ш. Кремера. — 3-е изд. — М.: ЮНИТИ-ДАНА,​ 2007.
others/metod_gaussa.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)