Инструменты пользователя

Инструменты сайта


others:matrichnyj_metod

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

others:matrichnyj_metod [2014/11/27 09:06] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +====== Матричный метод ======
 +**Матричный метод** решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.\\
 +Пусть дана система линейных уравнений с //n// неизвестными (над произвольным полем):​\\
  
 +{{:​matm1.png?​200|}}\\
 +
 +Тогда её можно переписать в матричной форме:​\\
 +//AX=B//, где //A// — основная матрица системы,​ //B// и //X// — столбцы свободных членов и решений системы соответственно\\
 +
 +{{:​matm2.png?​400|}}\\
 +
 +Умножим это матричное уравнение слева на //​A<​sup>​-1</​sup>//​ — матрицу,​ обратную к матрице //A//: //​A<​sup>​-1</​sup>​(AX)=A<​sup>​-1</​sup>​B//​\\
 +Так как //​A<​sup>​-1</​sup>​A=E//,​ получаем //​X=A<​sup>​-1</​sup>​B//​.\\
 +Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений,​ равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы //A//.\\
 +Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы //A//.
 +===== Пример =====
 +{{:​matm3.png?​150|}}\\
 +
 +Сначала убедимся в том, что определитель матрицы из коэффициентов при неизвестных СЛАУ не равен нулю.\\
 +
 +{{:​matm4.png?​400|}}\\
 +
 +Теперь вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы,​ состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они нам понадобятся для нахождения обратной матрицы.\\
 +
 +{{:​matm5.png?​200|}}\\
 +
 +{{:​matm6.png?​200|}}\\
 +
 +{{:​matm7.png?​200|}}\\
 +
 +{{:​matm9.png?​200|}}\\
 +
 +{{:​matm10.png?​200|}}\\
 +
 +{{:​matm11.png?​200|}}\\
 +
 +{{:​matm12.png?​200|}}\\
 +
 +{{:​matm13.png?​200|}}\\
 +
 +{{:​matm14.png?​200|}}\\
 +
 +Далее найдём союзную матрицу,​ транспонируем её и подставим в формулу для нахождения обратной матрицы.\\
 +
 +{{:​matm15.png?​200|}}\\
 +
 +{{:​matm16.png?​200|}}\\
 +
 +{{:​matm17.png?​200|}}\\
 +
 +Подставляя переменные в формулу,​ получаем:​\\
 +
 +{{:​matm18.png?​400|}}\\
 +
 +Осталось найти неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу и столбец свободных членов\\
 +
 +//​X=A<​sup>​-1</​sup>​B;//​\\
 +
 +{{:​matm19.png?​300|}}\\
 +
 +//x//=2; //y//=1; //z//=4.\\
 +
 +__//​Литература//​__\\
 +Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра:​ Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ,​ 2004.\\
 +Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н. Ш. Кремера. — 3-е изд. — М.: ЮНИТИ-ДАНА,​ 2007.
others/matrichnyj_metod.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)