Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

others:matrichnyj_metod

Матричный метод

Матричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.
Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем):


Тогда её можно переписать в матричной форме:
AX=B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно


Умножим это матричное уравнение слева на A-1 — матрицу, обратную к матрице A: A-1(AX)=A-1B
Так как A-1A=E, получаем X=A-1B.
Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A.
Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A.

Пример


Сначала убедимся в том, что определитель матрицы из коэффициентов при неизвестных СЛАУ не равен нулю.


Теперь вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они нам понадобятся для нахождения обратной матрицы.










Далее найдём союзную матрицу, транспонируем её и подставим в формулу для нахождения обратной матрицы.




Подставляя переменные в формулу, получаем:


Осталось найти неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу и столбец свободных членов

X=A-1B;


x=2; y=1; z=4.

Литература
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н. Ш. Кремера. — 3-е изд. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.

others/matrichnyj_metod.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)