Инструменты пользователя

Инструменты сайта


others:kolca

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

others:kolca [2014/11/27 09:06] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +====== Кольца ======
 +**Кольцо** — это множество //R//, на котором заданы две бинарные операции:​ + и × (называемые //​сложение//​ и //​умножение//​),​ со следующими свойствами:​\\
 +  *{{:​oas8.png?​200}} - коммутативность сложения;​
 +  *{{:​oas9.png?​300}} - ассоциативность сложения;​
 +  *{{:​oas10.png?​280}} - существование нейтрального элемента относительно сложения;​
 +  *{{:​oas11.png?​280}} - существование обратного элемента относительно сложения;​
 +  *{{:​oas12.png?​300}} - ассоциативность умножения;​
 +  *{{:​oas13.png?​330}} - дистрибутивность.
 +Ассоциативные кольца могут обладать следующими дополнительными свойствами:​\\
 +  *наличие единицы:​ {{:​oas14.png?​300}};​
 +  *коммутативность умножения:​ {{:​oas15.png?​230}};​
 +  *отсутствие делителей нуля: {{:​oas16.png?​330}}.
 +Кольца,​ для которых выполнены два последние свойства,​ называются //​целостными//​ (иногда также //​областями целостности//​ или просто //​областями//,​ хотя условие коммутативности не всегда считается обязательным).\\
 +Иногда под ассоциативным кольцом понимают ассоциативное кольцо с единицей. Но имеются примеры ассоциативных колец без единицы,​ например — нулевое кольцо,​ кольцо чётных чисел. Рассматриваются также неассоциативные кольца без единицы,​ например лиевские кольца и др.\\
  
 +Примеры колец:​\\
 +**{0}** - тривиальное кольцо,​ состоящее из одного нуля. Это единственное кольцо,​ в котором ноль является мультипликативной единицей.\\
 +**Z** -  целые числа (с обычным сложением и умножением). Это важнейший пример кольца,​ так как любое кольцо можно рассматривать как алгебру над Z.\\
 +**Q** -  кольцо рациональных чисел, являющееся полем. Это простейшее поле характеристики 0. Оно является основным объектом исследования в теории чисел.\\
 +<note tip>​**Связанные определения**\\
 +  *Подмножество {{:​oas17.png?​50}} называется **подкольцом** //R//, если //A// само является кольцом относительно операций,​ определенных в //R//. По определению,​ оно непусто,​ поскольку содержит нулевой элемент.
 +  *Ассоциативное кольцо с единицей 1 ≠ 0, в котором каждый ненулевой элемент обратим,​ называется **телом**.
 +  *Коммутативное тело называется **полем**. Иначе говоря,​ поле — это коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.
 +  *Кольцо,​ элементами которого являются числа, а операциями — сложение и умножение чисел, называют //​числовым кольцом//​. Например,​ множество чётных чисел является числовым кольцом.
 +</​note>​
 +===== Простейшие свойства =====
 +Пусть //R// — кольцо,​ тогда выполнены следующие свойства:​
 +  *//a// ⋅ 0 = 0, то есть 0 — поглощающий элемент по умножению.
 +  *(-//b//) = (-1) ⋅ //​b//, ​ где (-//b//) — элемент,​ обратный к //b// по сложению.
 +  *(//a - b//) ⋅ //c// = //a ⋅ c// - //b ⋅ c//
 +  *//c// ⋅ (//a - b//) = //c ⋅ a// - //c ⋅ b//
 +
 +__//​Литература//​__\\
 +Винберг Э. Б. Курс алгебры. М.: издательство «Факториал Пресс»,​ 2002.\\
 +Бельский А., Садовский Л. Кольца. Квант № 2, 1974.
others/kolca.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)