Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

others:kolca

Кольца

Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:

  • - коммутативность сложения;
  • - ассоциативность сложения;
  • - существование нейтрального элемента относительно сложения;
  • - существование обратного элемента относительно сложения;
  • - ассоциативность умножения;
  • - дистрибутивность.

Ассоциативные кольца могут обладать следующими дополнительными свойствами:

  • наличие единицы: ;
  • коммутативность умножения: ;
  • отсутствие делителей нуля: .

Кольца, для которых выполнены два последние свойства, называются целостными (иногда также областями целостности или просто областями, хотя условие коммутативности не всегда считается обязательным).
Иногда под ассоциативным кольцом понимают ассоциативное кольцо с единицей. Но имеются примеры ассоциативных колец без единицы, например — нулевое кольцо, кольцо чётных чисел. Рассматриваются также неассоциативные кольца без единицы, например лиевские кольца и др.

Примеры колец:
{0} - тривиальное кольцо, состоящее из одного нуля. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей.
Z - целые числа (с обычным сложением и умножением). Это важнейший пример кольца, так как любое кольцо можно рассматривать как алгебру над Z.
Q - кольцо рациональных чисел, являющееся полем. Это простейшее поле характеристики 0. Оно является основным объектом исследования в теории чисел.

Связанные определения
  • Подмножество называется подкольцом R, если A само является кольцом относительно операций, определенных в R. По определению, оно непусто, поскольку содержит нулевой элемент.
  • Ассоциативное кольцо с единицей 1 ≠ 0, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется телом.
  • Коммутативное тело называется полем. Иначе говоря, поле — это коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.
  • Кольцо, элементами которого являются числа, а операциями — сложение и умножение чисел, называют числовым кольцом. Например, множество чётных чисел является числовым кольцом.

Простейшие свойства

Пусть R — кольцо, тогда выполнены следующие свойства:

  • a ⋅ 0 = 0, то есть 0 — поглощающий элемент по умножению.
  • (-b) = (-1) ⋅ b, где (-b) — элемент, обратный к b по сложению.
  • (a - b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c
  • c ⋅ (a - b) = c ⋅ a - c ⋅ b

Литература
Винберг Э. Б. Курс алгебры. М.: издательство «Факториал Пресс», 2002.
Бельский А., Садовский Л. Кольца. Квант № 2, 1974.

others/kolca.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)