Инструменты пользователя

Инструменты сайта


others:gruppy

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

others:gruppy [2014/11/27 09:06] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +====== Группы ======
 +**Группа** ​ — непустое множество с определённой на нём ассоциативной бинарной операцией с нейтральным элементом,​ при этом для каждого элемента множества должен существовать обратный.\\
 +Непустое множество //G// с заданной на нём бинарной операцией {{:​oas1.png?​100}} называется группой (//G//, *), если выполнены следующие аксиомы:​\\
 +  *ассоциативность:​ {{:​oas2.png?​300}};​
 +  *наличие нейтрального элемента:​ {{:​oas3.png?​300}};​
 +  *наличие обратного элемента:​ {{:​oas4.png?​300}}
 +Пример группы:​ целые числа с операцией сложения. (Z, +) группа с нейтральным элементом 0. Она является абелевой.\\
 +<note tip>​**Связанные определения**\\
 +  *Пары элементов //a// и //b//, для которых выполнено равенство //​a*b=b*a//,​ называются //​перестановочными//​ или //​коммутирующими//​.
 +  *Множество элементов,​ перестановочных со всеми элементами группы,​ называется //​центром группы//​.
 +  *Группа,​ в которой любые два элемента коммутируют,​ называется //​коммутативной//​ или **абелевой**.
 +  ***Подгруппа** — подмножество //H// группы //G//, которое является группой относительно операции,​ определённой в //G//.
 +  ***Порядок группы** (//G//, *)  — мощность //G// (то есть число её элементов).
 +  *Если множество //G// конечно,​ то группа называется //​конечной//​.
 +</​note>​
 +===== Мультипликативная запись =====
 +Обычно групповую операцию называют (абстрактным) //​умножением//;​ тогда применяется мультипликативная запись:​\\
 +  *результат операции называют //​произведением//​ и записывают //a * b// или //ab//;
 +  *нейтральный элемент обозначается «1» и называется //​единицей//;​
 +  *обратный к //a// элемент записывается как //​a<​sup>​-1</​sup>//​.
 +Для степени элемента справедливо {{:​oas5.png?​350}}
 +===== Аддитивная запись =====
 +В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) //​сложение//​ и записывается аддитивно:​\\
 +  *пишут «//a + b//» и называют получившийся элемент //​суммой//​ элементов //a// и //b//;
 +  *обозначают нейтральный элемент «0» и называют его //​нулём//;​
 +  *обратный элемент к a обозначают как «//​−a//​» и называют его //​противоположным//​ к //a// элементом;​
 +  *запись сокращают следующим образом:​ //a + (-b) = a — b//;
 +  *выражения вида //a + a, a + a + a, -a - a, …// обозначают символами //2a, 3a, −2a, …//
 +===== Простейшие свойства =====
 +  *Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.
 +  *//​(a<​sup>​−1</​sup>​)<​sup>​−1</​sup>​ = a, a<​sup>​m</​sup>​a<​sup>​n</​sup>​ = a<​sup>​m+n</​sup>,​ (a<​sup>​m</​sup>​)<​sup>​n</​sup>​ = a<​sup>​mn</​sup>//​.
 +  *//​(ab)<​sup>​−1</​sup>​ = b<​sup>​−1</​sup>​a<​sup>​−1</​sup>​.//​
 +  *{{:​oas6.png?​150}}
 +  *{{:​oas7.png?​150}}
 +  *Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.
 +  *Группа содержит единственное решение //x// любого уравнения //x · c = b// или //c · x = b//; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».
 +  *Пересечение двух подгрупп группы //G// есть подгруппа группы //G//.
  
 +__//​Литература//​__\\
 +Садовский Л., Аршинов М. Группы / Квант. — 1976.\\
 +Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.\\
 +Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
others/gruppy.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)