Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

others:gruppy

Группы

Группа — непустое множество с определённой на нём ассоциативной бинарной операцией с нейтральным элементом, при этом для каждого элемента множества должен существовать обратный.
Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией называется группой (G, *), если выполнены следующие аксиомы:

  • ассоциативность: ;
  • наличие нейтрального элемента: ;
  • наличие обратного элемента:

Пример группы: целые числа с операцией сложения. (Z, +) группа с нейтральным элементом 0. Она является абелевой.

Связанные определения
  • Пары элементов a и b, для которых выполнено равенство a*b=b*a, называются перестановочными или коммутирующими.
  • Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы.
  • Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой.
  • Подгруппа — подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.
  • Порядок группы (G, *) — мощность G (то есть число её элементов).
  • Если множество G конечно, то группа называется конечной.

Мультипликативная запись

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применяется мультипликативная запись:

  • результат операции называют произведением и записывают a * b или ab;
  • нейтральный элемент обозначается «1» и называется единицей;
  • обратный к a элемент записывается как a-1.

Для степени элемента справедливо

Аддитивная запись

В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:

  • пишут «a + b» и называют получившийся элемент суммой элементов a и b;
  • обозначают нейтральный элемент «0» и называют его нулём;
  • обратный элемент к a обозначают как «−a» и называют его противоположным к a элементом;
  • запись сокращают следующим образом: a + (-b) = a — b;
  • выражения вида a + a, a + a + a, -a - a, … обозначают символами 2a, 3a, −2a, …

Простейшие свойства

  • Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.
  • (a−1)−1 = a, aman = am+n, (am)n = amn.
  • (ab)−1 = b−1a−1.
  • Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.
  • Группа содержит единственное решение x любого уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».
  • Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.

Литература
Садовский Л., Аршинов М. Группы / Квант. — 1976.
Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.

others/gruppy.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)