Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

others:ehkvivalentnye_sistemy_linejnyx_uravnenij

Эквивалентные системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множество их решений совпадает, то есть любое решение одной системы одновременно является решением другой, и наоборот.
Систему, эквивалентную данной, можно получить, в частности, заменив одно из уравнений на это уравнение, умноженное на любое отличное от нуля число. Эквивалентную систему можно получить также, заменив одно из уравнений суммой этого уравнения с другим уравнением системы. В общем, замена уравнения системы на линейную комбинацию уравнений даёт систему, эквивалентную исходной.
Система линейных алгебраических уравнений
Ax=b
эквивалентна системе
CAx=Cb,
где Cневырожденная матрица.
В частности, если сама матрица A — невырожденная, и для неё существует обратная матрица A-1, то решение системы уравнений можно формально записать в виде:
x=A-1b.

Невырожденная матрица

Невырожденная матрица ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае она называется вырожденной.
Для квадратной матрицы C над полем невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:

  • C обратима, то есть существует обратная матрица;
  • строки (столбцы) матрицы C линейно независимы;
  • элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицу C можно привести к единичной матрице;
  • ранг матрицы равен её размерности.

Литература
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
Куксенко С. П., Газизов Т. Р. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений с плотной матрицей. — Томск: Томский государственный университет, 2007

others/ehkvivalentnye_sistemy_linejnyx_uravnenij.txt · Последние изменения: 2016/11/29 16:59 — Andrey_98