Инструменты пользователя

Инструменты сайта


others:dejstvija_nad_matricami

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

others:dejstvija_nad_matricami [2014/11/27 09:06] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +====== Действия над матрицами ======
 +===== Равенство матриц =====
 +Две матрицы //A// и //B// называются равными,​ если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны //​a<​sub>​ij</​sub>​ = b<​sub>​ij</​sub>//​.\\
 +Так если {{:​matiop6.png?​100}} и {{:​matiop7.png?​100|}},​ то\\
 +//A=B//, если //​a<​sub>​11</​sub>​ = b<​sub>​11</​sub>,​ a<​sub>​12</​sub>​ = b<​sub>​12</​sub>,​ a<​sub>​21</​sub>​ = b<​sub>​21</​sub>​ и a<​sub>​22</​sub>​ = b<​sub>​22</​sub>//​.\\
 +===== Транспонирование =====
 +Рассмотрим произвольную матрицу //A// из //m// строк и //n// столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу //B// из //n// строк и //m// столбцов,​ у которой каждая строка является столбцом матрицы //A// с тем же номером (следовательно,​ каждый столбец является строкой матрицы //A// с тем же номером). Итак, если\\
 +{{:​matiop8.png?​175}},​ то {{:​matiop9.png?​130}}.\\
 +Эту матрицу //B// называют //​транспонированной//​ матрицей A, а переход от //A// к //B// //​транспонированием//​.\\
 +Таким образом,​ транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу,​ транспонированную к матрице //A//, обычно обозначают //​A<​sup>​T</​sup>//​.\\
 +==== Пример ====
 +Найти матрицу транспонированную данной:​\\
 +{{:​matiop10.png?​250|}}\\
 +===== Сложение матриц =====
 +Пусть матрицы //A// и //B// состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов,​ т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы //A// и //B// нужно к элементам матрицы //A// прибавить элементы матрицы //B//, стоящие на тех же местах. Таким образом,​ суммой двух матриц //A// и //B// называется матрица //C//, которая определяется по правилу:​\\
 +{{:​matiop11.png?​600}}=//​C//​\\
 +==== Пример ====
 +Найти сумму матриц:​\\
 +{{:​matiop12.png?​175}}\\
 +===== Умножение матрицы на число =====
 +Для того чтобы умножить матрицу //A// на число //k// нужно каждый элемент матрицы //A// умножить на это число. Таким образом,​ произведение матрицы //A// на число //k// есть новая матрица,​ которая определяется по правилу:​\\
 +{{ :​matiop13.png?​230 }}\\
 +Для любых чисел //a// и //b// и матриц //A// и //B// выполняются равенства:​\\
 +  *{{:​matiop14.png?​115}}\\
 +  *{{:​matiop15.png?​150}}\\
 +  *{{:​matiop16.png?​150}}\\
 +==== Пример ====
 +{{:​matiop17.png?​230|}}\\
 +===== Умножение матриц =====
 +Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим,​ что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы,​ у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы //A// не матрицу //B// называется новая матрица //C=AB//, элементы которой составляются следующим образом:​\\
 +{{ :​matiop18.png?​600 }}\\
 +Таким образом,​ например,​ чтобы получить у произведения (т.е. в матрице //C//) элемент,​ стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце //​c<​sub>​13</​sub>//,​ нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку,​ во 2-ой – 3-й столбец,​ и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.\\
  
 +В общем случае,​ если мы умножаем матрицу //A = (a<​sub>​ij</​sub>​)//​ размера //m×n// на матрицу //B = (b<​sub>​ij</​sub>​)//​ размера //n×p//, то получим матрицу //C// размера //m×p//, элементы которой вычисляются следующим образом:​ элемент //​c<​sub>​ij</​sub>//​ получается в результате произведения элементов //i//-ой строки матрицы //A// на соответствующие элементы //j//-го столбца матрицы //B// и их сложения.\\
 +
 +Из этого правила следует,​ что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка,​ в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности,​ квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.\\
 +
 +Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец,​ причём ширина первой должна быть равна высоте второй,​ в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,​\\
 +{{ :​matiop19.png?​300 }}
 +==== Пример ====
 +Найти произведение матриц:​\\
 +{{:​matiop20.png?​375}}\\
 +Можно проверить,​ что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам,​ т.е. //​(AB)C=A(BC)//​ и //​(A+B)C=AC+BC//​.\\
 +Легко также проверить,​ что при умножении квадратной матрицы //A// на единичную матрицу //E// того же порядка вновь получим матрицу //A//, причём //​AE=EA=A//​.\\
 +
 +__//​Литература//​__\\
 +Голуб Дж. (Gene H. Golub), Ван Лоун Ч. (Charles F. Van Loan) Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999.\\
 +Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson) Матричный анализ. — М.: Мир, 1989.
others/dejstvija_nad_matricami.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)