Инструменты пользователя

Инструменты сайта


others:bazisy_i_razmernost

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

others:bazisy_i_razmernost [2014/11/27 09:06] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +====== Базисы и размерность ======
 +Пусть V — векторное пространство.\\
 +  *//​Линейной комбинацией//​ векторов //​v<​sub>​1</​sub>,​ ... , v<​sub>​r</​sub>​ ∈ V// называется вектор //v = λ<​sub>​1</​sub>​v<​sub>​1</​sub>​ + λ<​sub>​2</​sub>​v<​sub>​2</​sub>​ + ··· + λ<​sub>​r</​sub>​v<​sub>​r</​sub>//,​ где //​λ<​sub>​1</​sub>,​ λ<​sub>​2</​sub>,​ ..., λ<​sub>​r</​sub>​ ∈ R//.\\
 +  *Векторы //​v<​sub>​1</​sub>,​ ..., v<​sub>​r</​sub>//​ называются //​линейно зависимыми//,​ если //​λ<​sub>​1</​sub>​v<​sub>​1</​sub>​ + λ<​sub>​2</​sub>​v<​sub>​2</​sub>​ + ··· + λ<​sub>​r</​sub>​v<​sub>​r</​sub>​ = 0//, где хотя бы одно из чисел //​λ<​sub>​1</​sub>,​ λ<​sub>​2</​sub>,​ ..., λ<​sub>​r</​sub>//​ не равно нулю. В противном случае векторы называются //​линейно независимыми//​.\\
 +  *Система векторов //​e<​sub>​1</​sub>,​ ..., e<​sub>​n</​sub>//​ называется (конечным) **базисом** пространства //V//, если любой вектор //v ∈ V// является их линейной комбинацией,​ причём представление //v = λ<​sub>​1</​sub>​e<​sub>​1</​sub>​ + λ<​sub>​2</​sub>​e<​sub>​2</​sub>​ + · · + λ<​sub>​n</​sub>​e<​sub>​n</​sub>//​ единственно. В этом случае пространство называется //​конечномерным//​. Числа //​λ<​sub>​i</​sub>//​ называются координатами вектора в данном базисе.\\
 +Количество векторов в базисе конечномерного пространства //V// называется **размерностью** этого пространства и обозначается через dim //V//.\\
 +Если //V′// ⊂ //V// — подпространство,​ то dim //V′// ≤ dim //V// и равенство достигается в том и только том случае,​ когда //V′ = V//.\\
 +Пусть //V// и //W// — конечномерные векторные пространства и //​e<​sub>​1</​sub>,​ ..., e<​sub>​n</​sub>//​ — базис пространства //V//. Тогда для любого набора векторов //​v<​sub>​1</​sub>,​ ..., v<​sub>​n</​sub>​ ∈ W// существует и единственным образом определён такой линейный оператор //A: V → W//, что\\
 +//​A(e<​sub>​i</​sub>​) = v<​sub>​i</​sub>, ​ i = 1, ... , n//.\\
  
 +Пусть //​v<​sub>​1</​sub>,​ ..., v<​sub>​r</​sub>​ ∈ V//. Множество\\
 +//​L(v<​sub>​1</​sub>,​ ..., v<​sub>​r</​sub>​) = { v =Σ<​sup>​r</​sup><​sub>​i=1</​sub>​λ<​sub>​i</​sub>​v<​sub>​i</​sub>​ | λ<​sub>​i</​sub>​ ∈ R }//,\\
 +образованное всевозможными линейными комбинациями векторов //​v<​sub>​1</​sub>,​ ..., v<​sub>​r</​sub>//,​ называется их **линейной оболочкой**.\\
 +Линейная оболочка является подпространством.\\
 +
 +//​Рангом//​ системы векторов //​v<​sub>​1</​sub>,​ ..., v<​sub>​r</​sub>​ ∈ V// называется размерность её линейной оболочки. Ранг системы обозначается через rank(//​v<​sub>​1</​sub>,​ ..., v<​sub>​r</​sub>//​).\\
 +Таким образом,​ rank(//​v<​sub>​1</​sub>,​ ..., v<​sub>​r</​sub>//​) = dim //​L//​(//​v<​sub>​1</​sub>,​ ..., v<​sub>​r</​sub>//​).\\
 +Если //​v<​sub>​1</​sub>,​ ..., v<​sub>​r</​sub>​ ∈ V// , то rank(//​v<​sub>​1</​sub>,​ ..., v<​sub>​r</​sub>//​) ≤ dim //V//.
 +
 +__//​Литература//​__\\
 +Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
others/bazisy_i_razmernost.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)