Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

others:bazisy_i_razmernost

Базисы и размерность

Пусть V — векторное пространство.

  • Линейной комбинацией векторов v1, … , vr ∈ V называется вектор v = λ1v1 + λ2v2 + ··· + λrvr, где λ1, λ2, …, λr ∈ R.
  • Векторы v1, …, vr называются линейно зависимыми, если λ1v1 + λ2v2 + ··· + λrvr = 0, где хотя бы одно из чисел λ1, λ2, …, λr не равно нулю. В противном случае векторы называются линейно независимыми.
  • Система векторов e1, …, en называется (конечным) базисом пространства V, если любой вектор v ∈ V является их линейной комбинацией, причём представление v = λ1e1 + λ2e2 + · · + λnen единственно. В этом случае пространство называется конечномерным. Числа λi называются координатами вектора в данном базисе.

Количество векторов в базисе конечномерного пространства V называется размерностью этого пространства и обозначается через dim V.
Если V′V — подпространство, то dim V′ ≤ dim V и равенство достигается в том и только том случае, когда V′ = V.
Пусть V и W — конечномерные векторные пространства и e1, …, en — базис пространства V. Тогда для любого набора векторов v1, …, vn ∈ W существует и единственным образом определён такой линейный оператор A: V → W, что
A(ei) = vi, i = 1, … , n.

Пусть v1, …, vr ∈ V. Множество
L(v1, …, vr) = { v =Σri=1λivi | λi ∈ R },
образованное всевозможными линейными комбинациями векторов v1, …, vr, называется их линейной оболочкой.
Линейная оболочка является подпространством.

Рангом системы векторов v1, …, vr ∈ V называется размерность её линейной оболочки. Ранг системы обозначается через rank(v1, …, vr).
Таким образом, rank(v1, …, vr) = dim L(v1, …, vr).
Если v1, …, vr ∈ V , то rank(v1, …, vr) ≤ dim V.

Литература
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.

others/bazisy_i_razmernost.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)