Инструменты пользователя

Инструменты сайта


others:algebry

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

others:algebry [2014/11/27 09:06] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +====== Алгебры ======
 +Пусть //K// — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Модуль //A// над кольцом //K//, в котором для заданного билинейного отображения\\
 +//f: A //x// A → A//\\
 +определено произведение согласно равенству\\
 +//ab=f(a, b)//\\
 +называется **алгеброй** над //K// или //​K//​-**алгеброй**.\\
 +Согласно определению для всех //k//, //l// ∈ //K// и //a//, //b//, //c// ∈ //A// справедливы соотношения:​\\
 +  *//a(b + c) = ab + ac//
 +  *//(a + b)c = ac + bc//
 +  *//(k + l)a = ka + la//
 +  *//k(a + b) = ka + kb//
 +  *//k(la) = (kl)a//
 +  *//k(ab) = (ka)b = a(kb)//
 +  *//1a = a//, где //1// - единица кольца //K//
 +Относительно операций сложения и умножения алгебра является кольцом.\\
 +Для //a//, //b// ∈ //​A//, ​ коммутатор определён равенством:​ [//a, b//] = //ab - ba//.\\
 +//​K//​-алгебра называется коммутативной,​ если [//a, b//] = 0.\\
 +Для //a//, //b//, //c// ∈ //A//  ассоциатор определён равенством:​ [//a, b, c//] = //(ab)c - a(bc)//.\\
 +//​K//​-алгебра называется ассоциативной,​ если [//a, b, c//] = 0.\\
 +Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение //na// (где //n// — целое число) обычно,​ то есть как сумму //n// копий //a//. Поэтому,​ кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.\\
 +Если алгебра //A// над коммутативным кольцом //K// является свободным модулем,​ то она называется свободной алгеброй и имеет базис над кольцом //K//. Если алгебра //A// имеет конечный базис, то алгебра //A// называется конечномерной.\\
 +Если //K// является полем, то, по определению,​ //​K//​-алгебра является векторным пространством над //K//, а значит,​ имеет базис.\\
 +Базис конечномерной алгебры обычно обозначают {{:​oas21.png?​17}},​ ..., {{:​oas19.png?​20}}.\\
 +===== Отображение алгебры =====
 +Мы можем рассматривать алгебру //A// над коммутативным кольцом //K// как модуль //A// над коммутативным кольцом //K//. Отображение\\
 +//f: A → B//\\
 +алгебры //A// над коммутативным кольцом //K// в алгебру //B// над кольцом //K// называется линейным,​ если\\
 +//f(a + b) = f(a) + f(b)//\\
 +//f(ka) = kf(a)//\\
 +для любых //a//, //b// ∈ //A// и //k// ∈ //K//. Множество линейных отображений алгебры //A// в алгебру //B// обозначается символом {{:​oas18.png?​50}}.\\
 +Линейное отображение\\
 +//f: A → B//\\
 +алгебры //A// в алгебру //B// называется гомоморфизмом,​ если\\
 +//f(ab) = f(a)f(b)//​\\
 +для любых //a//, //b// ∈ //A//, а также выполнено условие:​ если алгебры //A// и //B// имеют единицу,​ то\\
 +{{:​oas20.png?​80}}\\
 +Множество гомоморфизмов алгебры //A// в алгебру //B// обозначается символом //H(A; B)//.\\
 +Очевидно,​ что //H(A; B)// ⊆ {{:​oas18.png?​50}}.\\
  
 +__//​Литература//​__\\
 +«Общая алгебра,​ в 2-х томах (Серия:​ Справочная математическая библиотека)»,​ В. А. Артамонов и др., под редакцией Л. А. Скорнякова,​ — М.: Наука, Физматлит,​ 1990—1991
others/algebry.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)