Инструменты пользователя

Инструменты сайта


Боковая панель

Регистрация

Учебные курсы

Учебные проекты

Материалы к экзаменам

Полезная информация

Обратная связь

others:algebry

Алгебры

Пусть K — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Модуль A над кольцом K, в котором для заданного билинейного отображения
f: A x A → A
определено произведение согласно равенству
ab=f(a, b)
называется алгеброй над K или K-алгеброй.
Согласно определению для всех k, lK и a, b, cA справедливы соотношения:

  • a(b + c) = ab + ac
  • (a + b)c = ac + bc
  • (k + l)a = ka + la
  • k(a + b) = ka + kb
  • k(la) = (kl)a
  • k(ab) = (ka)b = a(kb)
  • 1a = a, где 1 - единица кольца K

Относительно операций сложения и умножения алгебра является кольцом.
Для a, bA, коммутатор определён равенством: [a, b] = ab - ba.
K-алгебра называется коммутативной, если [a, b] = 0.
Для a, b, cA ассоциатор определён равенством: [a, b, c] = (ab)c - a(bc).
K-алгебра называется ассоциативной, если [a, b, c] = 0.
Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение na (где n — целое число) обычно, то есть как сумму n копий a. Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.
Если алгебра A над коммутативным кольцом K является свободным модулем, то она называется свободной алгеброй и имеет базис над кольцом K. Если алгебра A имеет конечный базис, то алгебра A называется конечномерной.
Если K является полем, то, по определению, K-алгебра является векторным пространством над K, а значит, имеет базис.
Базис конечномерной алгебры обычно обозначают , …, .

Отображение алгебры

Мы можем рассматривать алгебру A над коммутативным кольцом K как модуль A над коммутативным кольцом K. Отображение
f: A → B
алгебры A над коммутативным кольцом K в алгебру B над кольцом K называется линейным, если
f(a + b) = f(a) + f(b)
f(ka) = kf(a)
для любых a, bA и kK. Множество линейных отображений алгебры A в алгебру B обозначается символом .
Линейное отображение
f: A → B
алгебры A в алгебру B называется гомоморфизмом, если
f(ab) = f(a)f(b)
для любых a, bA, а также выполнено условие: если алгебры A и B имеют единицу, то

Множество гомоморфизмов алгебры A в алгебру B обозначается символом H(A; B).
Очевидно, что H(A; B).

Литература
«Общая алгебра, в 2-х томах (Серия: Справочная математическая библиотека)», В. А. Артамонов и др., под редакцией Л. А. Скорнякова, — М.: Наука, Физматлит, 1990—1991

others/algebry.txt · Последние изменения: 2014/11/27 09:06 (внешнее изменение)